Seja
uma função homogênea de grau
. Mostre que
Passo 1
O enunciado afirma que
é homogênea de grau
, ou seja,
para todo real
. Queremos provar a identidade de Euler para funções homogêneas:
Passo 2
Definimos a função de uma variável
Pela hipótese de homogeneidade, temos
Passo 3
Aplicamos a regra da cadeia para diferenciar
em função de
. Obtemos
Passo 4
Por outro lado, ao derivar
em relação a
, como
é constante nesse contexto, vem
Passo 5
Como
, suas derivadas coincidem, isto é,
Basta agora avaliar em
. Em
temos
e
, logo