Seja f(x, y) uma função homogênea de grau n. Mostre que
x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n f .

Passo 1

O enunciado afirma que f(x,y) é homogênea de grau n, ou seja,
f(tx,\,ty)=t^n\,f(x,y)
para todo real t. Queremos provar a identidade de Euler para funções homogêneas:
x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=n\,f(x,y).

Passo 2

Definimos a função de uma variável
g(t)=f\bigl(t x,\;t y\bigr).
Pela hipótese de homogeneidade, temos
g(t)=f(tx,\,ty)=t^n\,f(x,y).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para diferenciar g(t) em função de t. Obtemos
g'(t) =\frac{\partial f}{\partial x}(t x,\,t y)\cdot x +\frac{\partial f}{\partial y}(t x,\,t y)\cdot y.

Passo 4

Por outro lado, ao derivar t^n\,f(x,y) em relação a t, como f(x,y) é constante nesse contexto, vem
\frac{d}{dt}\bigl(t^n\,f(x,y)\bigr) =n\,t^{n-1}\,f(x,y).

Passo 5

Como g(t)=t^n\,f(x,y), suas derivadas coincidem, isto é,
\frac{\partial f}{\partial x}(t x,\,t y)\,x +\frac{\partial f}{\partial y}(t x,\,t y)\,y =n\,t^{n-1}\,f(x,y).
Basta agora avaliar em t=1. Em t=1 temos (t x,t y)=(x,y) e t^{n-1}=1, logo
x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =n\,f(x,y).

Resposta

x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=n\,f(x,y).

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