Um asteroide viaja pelo espaço apenas sob ação do campo gravitacional do sistema solar. Em um determinado instante, ele assume a trajetória
Podemos afirmar que este asteroide voltará a algum ponto de sua trajetória?
Passo 1
O enunciado define a trajetória paramétrica
e pergunta se existem
tais que
. Para responder, vamos igualar as três coordenadas e buscar soluções não triviais.
Passo 2
Igualando a primeira coordenada, obtemos
o que implica
Igualando a terceira coordenada, temos
ou seja
Desconsideramos o caso trivial
. Escolhendo
na condição da primeira coordenada, ficamos com
Passo 3
Substituindo
na segunda coordenada, pedimos
Ao expandir e simplificar, chega-se a
Em cada caso
assume o outro valor, mostrando que
Passo 4
Como existem
(por exemplo
e
) tais que
concluímos que o asteroide retorna a um ponto já visitado.
Resposta
Sim. O asteroide volta ao mesmo ponto de sua trajetória — em particular
.