Um asteroide viaja pelo espaço apenas sob ação do campo gravitacional do sistema solar. Em um determinado instante, ele assume a trajetória
Q(t)=\left(2020 \operatorname{sen}(\pi t), t^{3}-t+2,2021 t^{2}-2021 t+2021\right)
Podemos afirmar que este asteroide voltará a algum ponto de sua trajetória?

Passo 1

O enunciado define a trajetória paramétrica
Q(t)=\bigl(2020\sin(\pi t),\,t^3 - t + 2,\,2021\,t^2 - 2021\,t + 2021\bigr)
e pergunta se existem t_1\neq t_2 tais que Q(t_1)=Q(t_2). Para responder, vamos igualar as três coordenadas e buscar soluções não triviais.

Passo 2

Igualando a primeira coordenada, obtemos
\sin(\pi t_1)=\sin(\pi t_2)
o que implica
t_2 = t_1 + 2k \quad\text{ou}\quad t_2 = 1 - t_1 + 2k, \quad k\in\mathbb{Z}.
Igualando a terceira coordenada, temos
2021\bigl(t_1^2 - t_1 + 1\bigr) = 2021\bigl(t_2^2 - t_2 + 1\bigr) \;\Longrightarrow\; t_2^2 - t_2 = t_1^2 - t_1 \;\Longrightarrow\; (t_2 - t_1)(t_2 + t_1 -1)=0,
ou seja
t_2 = t_1 \quad\text{ou}\quad t_2 = 1 - t_1.
Desconsideramos o caso trivial t_2=t_1. Escolhendo k=0 na condição da primeira coordenada, ficamos com
t_2 = 1 - t_1.

Passo 3

Substituindo t_2 = 1 - t_1 na segunda coordenada, pedimos
(1 - t_1)^3 - (1 - t_1) = t_1^3 - t_1.
Ao expandir e simplificar, chega-se a
t_1(t_1 - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; t_1 = 0 \quad\text{ou}\quad t_1 = 1.
Em cada caso t_2 = 1 - t_1 assume o outro valor, mostrando que
Q(0)=Q(1).

Passo 4

Como existem t_1\neq t_2 (por exemplo 0 e 1) tais que
Q(t_1)=Q(t_2),
concluímos que o asteroide retorna a um ponto já visitado.

Resposta

Sim. O asteroide volta ao mesmo ponto de sua trajetória — em particular Q(1)=Q(0).

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