38 Utilizando os teoremas estudados, explique porque as funções são contínuas.
ll G(x)=x^4+176 x^2+x-1 & G(x)=raiz[3]x(1+x^3) R(x)=x^2+raiz2 x-1 & h(x)=sen xx+1 L(t)=e^-5 t cos 2 pi t & F(x)=sen^-1(x^2-1) G(t)=ln (t^4-1) & H(x)=cos (e^raizx)

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que cada função dada é contínua em seu domínio, usando os teoremas básicos de continuidade: que polinômios, raízes, funções trigonométricas, exponencial, logaritmo e arcoseno são contínuos em seus domínios, e que soma, produto, quociente (quando o denominador não zera) e composição de funções contínuas geram funções contínuas.

Passo 2

Recapitulando os teoremas de continuidade que vamos usar:
– Polinômios são contínuos em R.
– A função raiz[n]x é contínua em seu domínio (para n par, x>=0; para n ímpar, todo R).
sin x e cos x são contínuas em R.
exp(x)=e^x é contínua em R.
ln(x) é contínua em (0,infty).
arcsin(x) é contínua em [-1,1].
– Se f e g são contínuas em D, então f+g, fcdot g e, quando g(x)neq0, tfracfg são contínuas em D.
– Se f é contínua em D e g é contínua em f(D), então gcirc f é contínua em D.

Passo 3

Para
G(x)=x^4+176x^2+x-1,
o numerador e o denominador são polinômios (contínuos em R), logo G é quociente de funções contínuas. O domínio natural é xmid6x^2+x-1neq0, e em cada ponto desse conjunto G é contínua.

Passo 4

Para
G(x)=raiz[3]x,l(1+x^3r),
tanto raiz[3]x (raiz cúbica) quanto 1+x^3 (polinômio) são contínuos em R. Como produto de contínuas, essa função é contínua em todo R.

Passo 5

Para
R(x)=x^2+raiz2x-1,
x^2 é polinômio contínuo em R e raiz2x-1 é contínua para 2x-1>=0, ou seja, x>=tfrac12. A soma de contínuas é contínua, logo R é contínua em l[tfrac12,inftyr).

Passo 6

Para
h(x)=sin xx+1,
sin x e x+1 são contínuas em R. Como quociente, h é contínua em xmid x+1neq0=Rsetminus-1.

Passo 7

Para
L(t)=e^-5t,cos(2pi t),
tanto tmapsto e^-5t (composição de polinomial e exponencial) quanto tmapstocos(2pi t) (composição de polinomial e cosseno) são contínuas em R. O produto delas é contínuo em todo R.

Passo 8

Para
F(x)=arcsinl(x^2-1r),
a função interna xmapsto x^2-1 é contínua em R e arcsin(u) é contínua em [-1,1]. Logo F é contínua sempre que x^2-1in[-1,1], isto é, xin[-raiz2,raiz2].

Passo 9

Para
G(t)=lnl(t^4-1r),
a parte tmapsto t^4-1 é contínua em R e ln(u) é contínua para u>0. Assim G é contínua quando t^4-1>0, ou seja, |t|>1.

Passo 10

Para
H(x)=cosl(e^raizxr),
temos a composição em cadeia: xmapstoraizx é contínua em [0,infty), umapsto e^u é contínua em R, e vmapstocos(v) é contínua em R. A composição total é contínua em [0,infty).

Resposta

Todas as funções apresentadas são contínuas em seus domínios naturais porque são obtidas por soma, produto, quociente (onde o denominador não anula) ou composição de funções elementares contínuas (polinômios, raízes, sin, cos, exp, ln, arcsin).

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