38 Utilizando os teoremas estudados, explique porque as funções são contínuas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que cada função dada é contínua em seu domínio, usando os teoremas básicos de continuidade: que polinômios, raízes, funções trigonométricas, exponencial, logaritmo e arcoseno são contínuos em seus domínios, e que soma, produto, quociente (quando o denominador não zera) e composição de funções contínuas geram funções contínuas.
Passo 2
Recapitulando os teoremas de continuidade que vamos usar:
– Polinômios são contínuos em .
– A função é contínua em seu domínio (para
par,
; para
ímpar, todo
).
– e
são contínuas em
.
– é contínua em
.
– é contínua em
.
– é contínua em
.
– Se e
são contínuas em
, então
,
e, quando
,
são contínuas em
.
– Se é contínua em
e
é contínua em
, então
é contínua em
.
– Polinômios são contínuos em
– A função
–
–
–
–
– Se
– Se
Passo 3
Para
o numerador e o denominador são polinômios (contínuos em
), logo
é quociente de funções contínuas. O domínio natural é
, e em cada ponto desse conjunto
é contínua.
Passo 4
Para
tanto
(raiz cúbica) quanto
(polinômio) são contínuos em
. Como produto de contínuas, essa função é contínua em todo
.
Passo 5
Para
Passo 6
Para
Passo 7
Para
tanto
(composição de polinomial e exponencial) quanto
(composição de polinomial e cosseno) são contínuas em
. O produto delas é contínuo em todo
.
Passo 8
Para
a função interna
é contínua em
e
é contínua em
. Logo
é contínua sempre que
, isto é,
.
Passo 9
Para
a parte
é contínua em
e
é contínua para
. Assim
é contínua quando
, ou seja,
.
Passo 10
Para
temos a composição em cadeia:
é contínua em
,
é contínua em
, e
é contínua em
. A composição total é contínua em
.
Resposta
Todas as funções apresentadas são contínuas em seus domínios naturais porque são obtidas por soma, produto, quociente (onde o denominador não anula) ou composição de funções elementares contínuas (polinômios, raízes,
,
,
,
,
).