Calcule a derivada das seguintes funções:
tg raizx^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função tg raizx^2+1. Esse é um problema de cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos uma função trigonométrica, a tangente ( tg), aplicada a outra função, que é a raiz quadrada de x^2 + 1. Vamos chamar essa parte interna de u:
u = raizx^2 + 1
Então, nossa função original fica:
f(x) = tg(u)

Passo 3

Agora, vamos usar a regra da cadeia para encontrar a derivada de f(x). A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta f(g(x)) é:
f'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x)
No nosso caso, f(u) = tg(u) e g(x) = u = raizx^2 + 1. Vamos encontrar as derivadas separadamente.

Passo 4

Primeiro, a derivada da tangente:
ddu tg(u) = sec^2(u)
Agora, vamos derivar u = raizx^2 + 1. Reescrevendo u como (x^2 + 1)^1/2, aplicamos a regra do poder:
dudx = 12(x^2 + 1)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 + 1

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, combinamos as duas derivadas que encontramos:
f'(x) = sec^2(u) cdot xraizx^2 + 1
Substituindo u de volta:
f'(x) = sec^2(raizx^2 + 1) cdot xraizx^2 + 1

Resposta

A derivada da função tg raizx^2+1 é:
f'(x) = x cdot sec^2(raizx^2 + 1)raizx^2 + 1

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