Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, ealcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
6. \mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} z^{3} \mathbf{i}+2 x y z^{3} \mathbf{j}+x z^{4} k, S é a superfície da caixa de vérices ( \pm 1, \pm 2, \pm 3 )

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=x^2z^3,i+2xyz^3,j+xz^4,k através da superfície fechada S da caixa com vértices (pm1,pm2,pm3).
Conteúdo: Teorema do Divergente (Gauss). Vamos precisar calcular nablacdotF e integrar sobre o volume da caixa.

Passo 2

Calcular a divergência nablacdotF.
nablacdotF =partialpartial x(x^2z^3) +partialpartial y(2xyz^3) +partialpartial z(xz^4)
Derivando cada termo:
partialpartial x(x^2z^3)=2xz^3, partialpartial y(2xyz^3)=2xz^3, partialpartial z(xz^4)=4xz^3
Logo,
nablacdotF=2xz^3+2xz^3+4xz^3=8xz^3

Passo 3

Pelo Teorema do Divergente,
integral duplaSFcdot dS =integral triplaV(nablacdotF),dV =integral triplaV8xz^3,dV
onde V é o paralelepípedo -1<= x<=1, -2<= y<=2, -3<= z<=3.

Passo 4

Separar a integral em coordenadas e notar simetria em y:
integral triplaV8xz^3,dV =integralx=-1^1integraly=-2^2integralz=-3^38xz^3,dz,dy,dx =l(integraly=-2^2dyr), l(integralx=-1^1integralz=-3^38xz^3,dz,dxr)
Como integraly=-2^2dy=4,
4integralx=-1^1integralz=-3^38xz^3,dz,dx =32integralx=-1^1xl(integralz=-3^3z^3,dzr),dx

Passo 5

Calcular integralz=-3^3z^3,dz. Como z^3 é função ímpar em [-3,3],
integral-3^3z^3,dz=0
Portanto toda a integral tripla vale zero.

Resposta

O fluxo de F através de S é 0.

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