Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, ealcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
6. \mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} z^{3} \mathbf{i}+2 x y z^{3} \mathbf{j}+x z^{4} k, S é a superfície da caixa de vérices ( \pm 1, \pm 2, \pm 3 )
6. \mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} z^{3} \mathbf{i}+2 x y z^{3} \mathbf{j}+x z^{4} k, S é a superfície da caixa de vérices ( \pm 1, \pm 2, \pm 3 )
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada
da caixa com vértices
.
Conteúdo: Teorema do Divergente (Gauss). Vamos precisar calcular e integrar sobre o volume da caixa.
Conteúdo: Teorema do Divergente (Gauss). Vamos precisar calcular
Passo 2
Calcular a divergência
.
Derivando cada termo:
Logo,
Passo 3
Pelo Teorema do Divergente,
onde
é o paralelepípedo
,
,
.
Passo 4
Separar a integral em coordenadas e notar simetria em
:
Como
,
Passo 5
Calcular
. Como
é função ímpar em
,
Portanto toda a integral tripla vale zero.
Resposta
O fluxo de
através de
é
.