Uma escada com
está em pé e apoiada em uma parede, quando sua base começa a escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 m da casa, ela começa a escorregar a uma taxa de
. A que taxa o topo da escada escorrega para baixo nesse momento?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma escada de 13 metros de comprimento apoiada em uma parede. A base da escada está deslizando para longe da parede a uma taxa de 5 metros por segundo quando está a 12 metros da parede. Queremos descobrir a que velocidade o topo da escada está descendo nesse momento.
Matéria envolvida: Cálculo das taxas relacionadas (derivadas relacionadas) e o Teorema de Pitágoras.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Pitágoras para relacionar a altura da escada na parede e a distância da base à parede, e depois derivar essa relação em relação ao tempo para encontrar a taxa de descida do topo da escada.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A hipotenusa é a escada com comprimento fixo de 13 metros.
- Um cateto é a distância da base da escada à parede, que chamamos de
. - O outro cateto é a altura da escada na parede, que chamamos de
.
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a taxa de variação de
em relação ao tempo (
) quando
metros e
.
Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo (
):
Passo 4
Calculando as derivadas:
- A derivada de
em relação ao tempo é . - A derivada de
em relação ao tempo é . - A derivada de uma constante (169) é 0.
Então, temos:
Passo 5
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Agora, isolando
:
Passo 6
Sabemos que:
-
metros -
Precisamos encontrar
quando
. Usando a equação do passo 2:
Passo 7
Agora, substituímos os valores na equação do passo 5:
Resposta
O topo da escada está descendo a uma taxa de
nesse momento.