(6,0) Uma escada com 13 m está em pé e apoiada em uma parede, quando sua base começa a escorregar, afastando-se da parede. No momento em que a base está a 12 m da casa, ela começa a escorregar a uma taxa de 5 m / s. A que taxa o topo da escada escorrega para baixo nesse momento?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma escada de 13 metros de comprimento apoiada em uma parede. A base da escada está deslizando para longe da parede a uma taxa de 5 metros por segundo quando está a 12 metros da parede. Queremos descobrir a que velocidade o topo da escada está descendo nesse momento.
Matéria envolvida: Cálculo das taxas relacionadas (derivadas relacionadas) e o Teorema de Pitágoras.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Pitágoras para relacionar a altura da escada na parede e a distância da base à parede, e depois derivar essa relação em relação ao tempo para encontrar a taxa de descida do topo da escada.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A hipotenusa é a escada com comprimento fixo de 13 metros.
  • Um cateto é a distância da base da escada à parede, que chamamos de x .
  • O outro cateto é a altura da escada na parede, que chamamos de y .
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
x^2 + y^2 = 13^2
x^2 + y^2 = 169

Passo 3

Agora, queremos encontrar a taxa de variação de y em relação ao tempo ( dydt ) quando x = 12 metros e dxdt = 5 , m/s .
Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo ( t ):
ddt(x^2) + ddt(y^2) = ddt(169)

Passo 4

Calculando as derivadas:
  • A derivada de x^2 em relação ao tempo é 2x dxdt .
  • A derivada de y^2 em relação ao tempo é 2y dydt .
  • A derivada de uma constante (169) é 0.
Então, temos:
2x dxdt + 2y dydt = 0

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
x dxdt + y dydt = 0
Agora, isolando dydt :
y dydt = -x dxdt
dydt = -xy cdot dxdt

Passo 6

Sabemos que:
  • x = 12 metros
  • dxdt = 5 , m/s
Precisamos encontrar y quando x = 12 . Usando a equação do passo 2:
12^2 + y^2 = 169
144 + y^2 = 169
y^2 = 25
y = 5 , metros

Passo 7

Agora, substituímos os valores na equação do passo 5:
dydt = -125 cdot 5
dydt = -12 , m/s

Resposta

O topo da escada está descendo a uma taxa de 12 , m/s nesse momento.

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