Finalmente, mencionamos que o Teorema de Stokes pode ser usado para demonstrar o Teorema 16.5 .4 (que afirma que, se rot
sobre
, então
é conservativo). De nosso trabalho prévio (Teoremas 16.3 .3 e 16.3.4), sabemos que
é conservativo se
para todo caminho fechado
. Dado
, suponha que possamos achar uma superfície orientada
cuja fronteira seja
(isso pode ser feito, mas a demonstraçāo requer técnicas avançadas). Então o Teorema de Stokes fornece
Passo 1
O enunciado pede para provar o Teorema 16.5.4: “Se
em
, então
é um campo vetorial conservativo.” Para isso vamos usar o Teorema de Stokes e o fato (Teoremas 16.3.3 e 16.3.4) de que
é conservativo se, e somente se,
para todo caminho fechado
.
Passo 2
Seja
um caminho fechado arbitrário em
. Como hipótese, suponha que exista uma superfície orientada
cuja fronteira orientada seja exatamente
, ou seja,
. (A construção de
pode exigir resultados avançados de topologia, mas vamos admiti-la.)
Passo 3
Aplicamos o Teorema de Stokes à superfície
orientada e ao seu contorno
. Ele diz que
Passo 4
Pela hipótese do teorema,
em todo
. Logo
Isto implica
Passo 5
Como mostramos que a integral de linha de
ao longo de qualquer caminho fechado
é zero, concluímos, pelos Teoremas 16.3.3 e 16.3.4, que
é conservativo.