Finalmente, mencionamos que o Teorema de Stokes pode ser usado para demonstrar o Teorema 16.5 .4 (que afirma que, se rot mathbfF=0 sobre mathbbR^3, então mathbfF é conservativo). De nosso trabalho prévio (Teoremas 16.3 .3 e 16.3.4), sabemos que mathbfF é conservativo se integralC F cdot d r=0 para todo caminho fechado C. Dado C, suponha que possamos achar uma superfície orientada S cuja fronteira seja C (isso pode ser feito, mas a demonstraçāo requer técnicas avançadas). Então o Teorema de Stokes fornece
integralC F cdot d r=integral duplaS rot F cdot d S=integral duplaS 0 cdot d S=0

Passo 1

O enunciado pede para provar o Teorema 16.5.4: “Se rot,F=0 em R^3, então F é um campo vetorial conservativo.” Para isso vamos usar o Teorema de Stokes e o fato (Teoremas 16.3.3 e 16.3.4) de que F é conservativo se, e somente se,
integralCFcdot dr=0
para todo caminho fechado C.

Passo 2

Seja C um caminho fechado arbitrário em R^3. Como hipótese, suponha que exista uma superfície orientada S cuja fronteira orientada seja exatamente C, ou seja, partial S=C. (A construção de S pode exigir resultados avançados de topologia, mas vamos admiti-la.)

Passo 3

Aplicamos o Teorema de Stokes à superfície S orientada e ao seu contorno C. Ele diz que
integralCFcdot dr =integral duplaSl(rot,Fr)cdot dS

Passo 4

Pela hipótese do teorema, rot,F=0 em todo R^3. Logo
integral duplaSl(rot,Fr)cdot dS =integral duplaS0cdot dS =0
Isto implica
integralCFcdot dr=0

Passo 5

Como mostramos que a integral de linha de F ao longo de qualquer caminho fechado C é zero, concluímos, pelos Teoremas 16.3.3 e 16.3.4, que F é conservativo.

Resposta

F é conservativo.

Exercícios relacionados