Calcule o valor da integral múltipla.
15. \iint_{R} y e^{x y} d A ,onde R=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 3\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=y e^{xy} sobre o retângulo
R = \{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 3\}.
O conteúdo aqui é integrar funções contínuas em regiões retangulares, usando o Teorema de Fubini para trocar a ordem de integração e simplificar o cálculo.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos reescrever
\iint_{R} y e^{xy}\,dA =\int_{y=0}^{3}\Bigl(\int_{x=0}^{2}y e^{xy}\,dx\Bigr)dy.
Escolhemos integrar primeiro em x porque y é constante nessa etapa e a integral fica muito simples.

Passo 3

Calculemos a integral interna:
\int_{x=0}^{2}y e^{xy}\,dx.
Como y é constante em relação a x, temos
\int_{x=0}^{2}y e^{xy}\,dx = y\int_{0}^{2}e^{xy}\,dx = y\cdot\frac{1}{y}\bigl.e^{xy}\bigr|_{0}^{2} = e^{2y}-1.
Note que o fator y cancela com \tfrac1y ao integrar e^{xy} em x.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{y=0}^{3}\bigl(e^{2y}-1\bigr)\,dy =\int_{0}^{3}e^{2y}\,dy \;-\;\int_{0}^{3}1\,dy =\frac{1}{2}e^{2y}\Big|_{0}^{3}-\bigl.y\bigr|_{0}^{3} =\frac{1}{2}e^{6}-3-\frac{1}{2} =\frac{e^{6}-7}{2}.

Resposta

\frac{e^{6}-7}{2}.

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