39-40 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
39. y=ln (x^2-3 x+1), (3,0)
40. y=x^2 ln x, (1,0)

Passo 1

O enunciado pede as equações das retas tangentes às curvas dadas nos pontos indicados. Para isso precisamos lembrar que a reta tangente em (x0,y0) tem equação
y - y0 = m,(x - x0),
onde m = y'(x0) é o valor da derivada da função no ponto.

Passo 2

No problema 39 temos
y = lnl(x^2 - 3x + 1r)
Usamos a regra da cadeia:
y' = 1x^2-3x+1cdot(2x - 3) = 2x - 3x^2 - 3x + 1
Em x0=3 o denominador vale 3^2-3cdot3+1 = 9-9+1=1 e o numerador vale 2cdot3-3=3. Logo
m39 = y'(3) = 3

Passo 3

Aplicando a fórmula da reta tangente em (3,0):
y - 0 = 3,(x - 3) Longrightarrow y = 3x - 9

Passo 4

No problema 40 temos
y = x^2ln x
Usamos a regra do produto e a derivada de ln x:
y' = 2xln x + x^2cdot1x = 2xln x + x
Em x0=1 temos ln1=0, logo
m40 = y'(1) = 2cdot1cdot0 + 1 = 1

Passo 5

Aplicando a fórmula da reta tangente em (1,0):
y - 0 = 1,(x - 1) Longrightarrow y = x - 1

Resposta

  1. y = 3x - 9
  2. y = x - 1

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