Determine a equação diferencial linear homogênea a coeficientes constantes que é satisfeita por cada uma das seguintes funções (soluções):
y=c1 e^2 x+c2 e^-x+e^x(c3+c4 x+c5 x^2)+e^-2 x[c6 cos (3 x)+c7 sen(3 x)]

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea a coeficientes constantes cuja família geral de soluções é
y = c1e^2x + c2e^-x + e^xl(c3 + c4x + c5x^2r) + e^-2xl[c6cos(3x) + c7sin(3x)r]
O conteúdo aqui é raciocinar pelo polinômio característico: cada termo da solução corresponde a uma raiz (ou raiz múltipla) desse polinômio.

Passo 2

Identificamos as raízes do polinômio característico e suas multiplicidades:
  • e^2x Rightarrow raiz simples r=2.
  • e^-x Rightarrow raiz simples r=-1.
  • e^x(1,x,x^2) Rightarrow raiz r=1 de multiplicidade 3.
  • e^-2xcos(3x) e e^-2xsin(3x) Rightarrow raízes complexas conjugadas r=-2pm 3i, cada uma de multiplicidade 1.

Passo 3

O polinômio característico em r é, portanto,
(r-2),(r+1),(r-1)^3,l[(r+2)^2+3^2r] =,(r-2),(r+1),(r-1)^3,(r^2+4r+13)

Passo 4

Substituindo r por o operador D=tfracddx, a equação diferencial buscada é
(D-2),(D+1),(D-1)^3,(D^2+4D+13);y ;=;0

Resposta

(D-2)(D+1)(D-1)^3(D^2+4D+13),y=0

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