Determine a equação diferencial linear homogênea a coeficientes constantes que é satisfeita por cada uma das seguintes funções (soluções):
y=c1+c2 x+c3 x^2+c4 e^3 x cos (2 x)+c5 e^3 x sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear homogênea a coeficientes constantes cuja solução geral seja
y = c1 + c2x + c3x^2 + c4e^3xcos(2x) + c5e^3xsin(2x)
Aqui o conteúdo é identificação da relação entre as raízes do polinômio característico e as parcelas da solução.

Passo 2

Cada termo da solução corresponde a uma raiz (com certa multiplicidade) do polinômio característico:
  • Os termos c1,c2x,c3x^2 indicam uma raiz r=0 de multiplicidade 3.
  • Os termos e^3xcos(2x) e e^3xsin(2x) indicam as raízes complexas conjugadas r=3pm2i, cada uma de multiplicidade 1.
    Logo o polinômio característico é
r^3l[(r-3)^2+2^2r] ;=; r^3(r^2-6r+13)

Passo 3

Expandindo o polinômio r^3(r^2-6r+13) obtemos
r^5 ;-;6r^4;+;13r^3

Passo 4

A equação diferencial linear homogênea de ordem 5 correspondente é
d^5ydx^5 ;-;6,d^4ydx^4 ;+;13,d^3ydx^3 ;=;0

Resposta

y^(5) - 6,y^(4) + 13,y^(3) = 0

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