Determine a equação diferencial linear homogênea a coeficientes constantes que é satisfeita por cada uma das seguintes funções (soluções):
y=c1+c2 x+c3 x^2+c4 x^3

Passo 1

O enunciado pede uma equação diferencial linear, homogênea, a coeficientes constantes, cuja solução geral seja
y = c1 + c2x + c3x^2 + c4x^3
O conteúdo necessário é a relação entre as raízes do polinômio característico e as formas das soluções fundamentais.

Passo 2

Em uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes, cada raiz r do polinômio característico gera soluções do tipo e^rx, e se a raiz r tiver multiplicidade m, as soluções associadas são
e^rx,;x e^rx,;x^2e^rx,dots,x^m-1e^rx
Aqui as soluções fundamentais são 1,x,x^2,x^3, que correspondem a e^0cdot x,x e^0cdot x,x^2e^0cdot x,x^3e^0cdot x. Logo, a raiz do característico é r=0 com multiplicidade 4.

Passo 3

O polinômio característico que tem r=0 com multiplicidade 4 é
r^4=0
Isso equivale ao operador diferencial (D-0)^4=D^4, onde D=tfracddx. Portanto, a equação diferencial é
y^(4)=0

Resposta

y^(4) = 0

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