Determine a equação diferencial linear homogênea a coeficientes constantes que é satisfeita por cada uma das seguintes funções (soluções):
Passo 1
O enunciado dá a forma geral da solução
e pede uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes que tenha exatamente esse espaço de soluções. Para isso vamos lembrar que, para uma EDO homogênea com operador característico
os termos
e
surgem de uma raiz
de multiplicidade 2, e os termos
e
vêm de raízes complexas
de multiplicidade 1.
Passo 2
Identificamos as raízes do polinômio característico:
-
com multiplicidade 2 (gera as soluções e ), -
e cada uma de multiplicidade 1 (gera as soluções e ).
Passo 3
O polinômio característico que reúne essas raízes é
ou seja
Passo 4
Para passar do polinômio característico para a equação diferencial, substituímos
por
. Assim o operador é
e a EDO homogênea correspondente é
ou seja