Determine a equação diferencial linear homogênea a coeficientes constantes que é satisfeita por cada uma das seguintes funções (soluções):
y=c1+c2 x+c3 cos x+c4 sen x

Passo 1

O enunciado dá a forma geral da solução
y = c1 + c2,x + c3,cos x + c4,sin x
e pede uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes que tenha exatamente esse espaço de soluções. Para isso vamos lembrar que, para uma EDO homogênea com operador característico
;p(r)=0,
os termos 1 e x surgem de uma raiz r=0 de multiplicidade 2, e os termos cos x e sin x vêm de raízes complexas r=pm i de multiplicidade 1.

Passo 2

Identificamos as raízes do polinômio característico:
  • r=0 com multiplicidade 2 (gera as soluções 1 e x),
  • r=+i e r=-i cada uma de multiplicidade 1 (gera as soluções cos x e sin x).

Passo 3

O polinômio característico que reúne essas raízes é
r^2,(r^2+1)=0
ou seja
r^4 + r^2 = 0

Passo 4

Para passar do polinômio característico para a equação diferencial, substituímos r por D = tfracddx. Assim o operador é
D^2,(D^2+1)=D^4+D^2
e a EDO homogênea correspondente é
D^4y + D^2y = 0,
ou seja
y^(4) + y'' = 0

Resposta

y^(4) + y'' = 0

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