39-42 Use diferenciação implícita para determinar partial z / partial x e partial z / partial y.
x^2+y^2-z^2=2 x(y+z)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x^2+y^2-z^2=2,x,(y+z)
onde z é vista como função de (x,y), ou seja z=z(x,y). O objetivo é usar diferenciação implícita para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 2

Definimos a função
F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-2x(y+z);=;0
Para achar partial zpartial x, diferenciamos F=0 em relação a x, lembrando que z depende de x:
partial Fpartial x =2x + 0 -2z,partial zpartial x -2l(y+zr) -2x,partial zpartial x =0
Reagrupando os termos com partial zpartial x:
2x-2(y+z)-2l(z+xr)partial zpartial x=0 Longrightarrow -2(z+x)partial zpartial x=2(y+z)-2x
Logo,
partial zpartial x =2(y+z)-2x-2(z+x) =x-y-z,x+z,

Passo 3

Agora diferenciamos F=0 em relação a y:
partial Fpartial y =0+2y -2z,partial zpartial y -2x -2x,partial zpartial y =0
Agrupando partial zpartial y:
2y-2x -2(z+x)partial zpartial y=0 Longrightarrow -2(z+x)partial zpartial y=2x-2y
Portanto,
partial zpartial y =2x-2y-2(z+x) =y-x,x+z,

Resposta

partial zpartial x=x - y - z,x + z,, partial zpartial y=y - x,x + z,

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