(a) Mostre que as derivadas parciais de f não são contínuas na origem ;
(b) Mostre que f é uma função diferenciável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função de duas variáveis, f(x, y) , que é definida de forma diferente quando (x, y) não é igual a (0,0) e quando é igual a (0,0) . O problema está dividido em duas partes:
a) Mostrar que as derivadas parciais de f não são contínuas na origem.
b) Mostrar que f é uma função diferenciável.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais, continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte (a): mostrar que as derivadas parciais de f não são contínuas na origem.
Vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y para (x, y) neq (0,0) e depois verificar o comportamento dessas derivadas quando (x, y) se aproxima de (0,0) .
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x . Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Agora, vamos analisar o comportamento de fx(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) .
Observe que os termos sin(1x^2 + y^2) e cos(1x^2 + y^2) oscilam entre -1 e 1, mas eles estão multiplicados por x ou xx^2 + y^2 .
Quando (x, y) to (0,0) , o termo 2x sin(1x^2 + y^2) tende a 0 porque x tende a 0.
No entanto, o termo 2x cos(1x^2 + y^2)x^2 + y^2 não tende a 0 de forma clara, pois xx^2 + y^2 pode crescer sem limite dependendo da direção de aproximação.
Passo 5
Isso indica que fx(x, y) não tem um limite definido quando (x, y) to (0,0) , ou seja, a derivada parcial em relação a x não é contínua na origem.
O mesmo raciocínio vale para a derivada parcial em relação a y , fy(x, y) , que também não será contínua na origem.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b): mostrar que f é uma função diferenciável na origem.
Para isso, precisamos verificar se existe uma aproximação linear de f perto de (0,0) . Em outras palavras, se podemos escrever:
f(x, y) = f(0,0) + fx(0,0) x + fy(0,0) y + termos de ordem superior
Passo 7
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f na origem (0,0) .
Usando a definição de derivada parcial:
fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h
Substituindo f(h,0) = h^2 sin(1h^2) :
fx(0,0) = limh to 0 h^2 sin(1h^2)h = limh to 0 h sin(1h^2) = 0
O mesmo vale para fy(0,0) :
fy(0,0) = 0
Passo 8
Com fx(0,0) = 0 e fy(0,0) = 0 , a aproximação linear de f na origem é simplesmente 0 .
Agora, precisamos verificar se:
lim(x,y) to (0,0) f(x,y) - 0 - 0 cdot x - 0 cdot yraizx^2 + y^2 = 0