Seja a função
f(x, y)=cl (x^2+y^2) sen(1x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
(a) Mostre que as derivadas parciais de f não são contínuas na origem ;
(b) Mostre que f é uma função diferenciável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função de duas variáveis, f(x, y) , que é definida de forma diferente quando (x, y) não é igual a (0,0) e quando é igual a (0,0) . O problema está dividido em duas partes:
a) Mostrar que as derivadas parciais de f não são contínuas na origem.
b) Mostrar que f é uma função diferenciável.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de derivadas parciais, continuidade e diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte (a): mostrar que as derivadas parciais de f não são contínuas na origem.
Vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y para (x, y) neq (0,0) e depois verificar o comportamento dessas derivadas quando (x, y) se aproxima de (0,0) .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x . Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
fx(x, y) = partialpartial x[(x^2 + y^2) sin(1x^2 + y^2)]
Aplicando a derivada:
fx(x, y) = 2x sin(1x^2 + y^2) + (x^2 + y^2) cos(1x^2 + y^2) (-2x(x^2 + y^2)^2)
Simplificando:
fx(x, y) = 2x sin(1x^2 + y^2) - 2x cos(1x^2 + y^2)x^2 + y^2

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de fx(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) .
Observe que os termos sin(1x^2 + y^2) e cos(1x^2 + y^2) oscilam entre -1 e 1, mas eles estão multiplicados por x ou xx^2 + y^2 .
Quando (x, y) to (0,0) , o termo 2x sin(1x^2 + y^2) tende a 0 porque x tende a 0.
No entanto, o termo 2x cos(1x^2 + y^2)x^2 + y^2 não tende a 0 de forma clara, pois xx^2 + y^2 pode crescer sem limite dependendo da direção de aproximação.

Passo 5

Isso indica que fx(x, y) não tem um limite definido quando (x, y) to (0,0) , ou seja, a derivada parcial em relação a x não é contínua na origem.
O mesmo raciocínio vale para a derivada parcial em relação a y , fy(x, y) , que também não será contínua na origem.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): mostrar que f é uma função diferenciável na origem.
Para isso, precisamos verificar se existe uma aproximação linear de f perto de (0,0) . Em outras palavras, se podemos escrever:
f(x, y) = f(0,0) + fx(0,0) x + fy(0,0) y + termos de ordem superior

Passo 7

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f na origem (0,0) .
Usando a definição de derivada parcial:
fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h
Substituindo f(h,0) = h^2 sin(1h^2) :
fx(0,0) = limh to 0 h^2 sin(1h^2)h = limh to 0 h sin(1h^2) = 0
O mesmo vale para fy(0,0) :
fy(0,0) = 0

Passo 8

Com fx(0,0) = 0 e fy(0,0) = 0 , a aproximação linear de f na origem é simplesmente 0 .
Agora, precisamos verificar se:
lim(x,y) to (0,0) f(x,y) - 0 - 0 cdot x - 0 cdot yraizx^2 + y^2 = 0
Simplificando:
lim(x,y) to (0,0) (x^2 + y^2) sin(1x^2 + y^2)raizx^2 + y^2 = lim(x,y) to (0,0) raizx^2 + y^2 sin(1x^2 + y^2)

Passo 9

Sabemos que |sin(z)| <= 1 para qualquer z . Portanto:
| raizx^2 + y^2 sin(1x^2 + y^2) | <= raizx^2 + y^2
Como raizx^2 + y^2 to 0 quando (x, y) to (0,0) , pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), o limite também tende a 0.

Resposta

a) As derivadas parciais de f não são contínuas na origem.
b) A função f é diferenciável na origem.

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