Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
(\int_{1}^{3} \int_{0}^{\pi / 2} \int_{r}^{3} r d z d \theta d r)
(\int_{1}^{3} \int_{0}^{\pi / 2} \int_{r}^{3} r d z d \theta d r)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o sólido definido em coordenadas cilíndricas pelos limites
e, em seguida, calcular o volume via a integral tripla
Vamos usar o conceito de volume através de integrais em coordenadas cilíndricas e visualizar as superfícies que limitam o sólido.
Passo 2
Para esboçar o sólido basta notar que ele é limitado por:
- O cilindro interno
e o cilindro externo , - Os planos radiais
e (formando um quarto de anel no plano ), - O plano inferior oblíquo
, - O plano superior horizontal
.
Assim, no planotemos um quarto de coroa circular de raio interno 1 e externo 3, e em cada reta radial constante o sólido se estende de até .
Passo 3
Calculemos primeiro a integral interna em
:
Passo 4
Agora integramos em
, lembrando que a expressão não depende de
:
Passo 5
Por fim, integramos em
:
Calculando os parênteses:
Então
(Opa! Corrigindo o sinal, note que ao subtrair o valor em
subtrai-se
, logo na conta foi
.
Assim:)
Assim:)