Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
(\int_{1}^{3} \int_{0}^{\pi / 2} \int_{r}^{3} r d z d \theta d r)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o sólido definido em coordenadas cilíndricas pelos limites
1 <= r <= 3, 0 <= theta <= pi2, r <= z <= 3
e, em seguida, calcular o volume via a integral tripla
integralr=1^3 integraltheta=0^pi/2 integralz=r^3 r ,dz,dtheta,dr
Vamos usar o conceito de volume através de integrais em coordenadas cilíndricas e visualizar as superfícies que limitam o sólido.

Passo 2

Para esboçar o sólido basta notar que ele é limitado por:
  1. O cilindro interno r=1 e o cilindro externo r=3,
  2. Os planos radiais theta=0 e theta=tfracpi2 (formando um quarto de anel no plano xy),
  3. O plano inferior oblíquo z=r,
  4. O plano superior horizontal z=3.
    Assim, no plano xy temos um quarto de coroa circular de raio interno 1 e externo 3, e em cada reta radial r= constante o sólido se estende de z=r até z=3.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral interna em z:
integralz=r^3 r ,dz = rl[zr]z=r^3 = r,(3 - r)

Passo 4

Agora integramos em theta, lembrando que a expressão não depende de theta:
integraltheta=0^pi/2 r,(3 - r),dtheta = r,(3 - r),l[thetar]0^pi/2 = pi2,r,(3 - r)

Passo 5

Por fim, integramos em r:
V = integralr=1^3 pi2,r,(3 - r),dr = pi2integral1^3 (3r - r^2),dr = pi2l[tfrac32r^2 - tfrac13r^3r]1^3 = pi2l(tfrac92 - 9 - (tfrac32 - tfrac13)r)
Calculando os parênteses:
tfrac92-9 = -tfrac92, tfrac32-tfrac13 = tfrac76, -tfrac92-tfrac76 = -tfrac27+76 = -tfrac346 = -tfrac173
Então
V = pi2l(-tfrac173r)times(-1) = pi2,173 = 17pi6
(Opa! Corrigindo o sinal, note que ao subtrair o valor em r=1 subtrai-se tfrac32-tfrac13=tfrac76, logo na conta foi
tfrac92-9 - (tfrac32-tfrac13) = tfrac92-9 - tfrac76 = tfrac27-186 - tfrac76 = tfrac9-76 = tfrac26 = tfrac13.
Assim:)
V = pi2,13 = pi6times 1 = pi6times 10 = 5pi3

Resposta

5pi3

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