39-44. Esboce a curva de nível para z=k para os valores especificados de k :
39. z=x^2+y^2, k=0,1,2,3,4.
40. z=xy, k=-2,-1,0,1,2.
41. z=x^2+y, k=-2,-1,0,1,2.
42. z=x^2+9 y^2, k=0,1,2,3,4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente esboçar as curvas de nível da função z = x^2 + y^2 para os valores de k = 0, 1, 2, 3, 4 . Isso faz parte do conteúdo de funções de duas variáveis e visualização gráfica. Para resolver, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las no plano xy .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas no plano xy onde a função z assume um valor constante k . Ou seja, para cada k , a curva de nível é dada pela equação:
z = k
No nosso caso, a função é z = x^2 + y^2 , então a equação das curvas de nível fica:
x^2 + y^2 = k

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação x^2 + y^2 = k . Essa é a equação padrão de um círculo no plano xy , onde o centro do círculo está na origem (0,0) e o raio é raizk .

Passo 4

Vamos calcular o raio para cada valor de k :
  • Para k = 0 :
raiz0 = 0
Isso significa que a curva de nível é apenas um ponto na origem.
  • Para k = 1 :
raiz1 = 1
Um círculo com raio 1.
  • Para k = 2 :
raiz2 approx 1,414
Um círculo com raio aproximadamente 1,414.
  • Para k = 3 :
raiz3 approx 1,732
Um círculo com raio aproximadamente 1,732.
  • Para k = 4 :
raiz4 = 2
Um círculo com raio 2.

Passo 5

Com esses raios, podemos esboçar as curvas de nível no plano xy . Cada valor de k corresponde a um círculo maior que o anterior, todos centrados na origem.

Resposta

As curvas de nível para z = x^2 + y^2 com k = 0, 1, 2, 3, 4 são círculos centrados na origem com raios iguais a raizk . Especificamente:
  • k = 0 : ponto na origem.
  • k = 1 : círculo de raio 1.
  • k = 2 : círculo de raio aproximadamente 1,414.
  • k = 3 : círculo de raio aproximadamente 1,732.
  • k = 4 : círculo de raio 2.

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