Utilizando integração dupla, calcule a área do conjunto B dado
(d) B=(x, y) in R^2 ; x>0, 4x <= y <=-3 x^2+7 x

Passo 1

O enunciado pede a área do conjunto
B = (x,y)inR^2 : x>0,;tfrac4x<= y<= -3x^2+7x,
usando integração dupla. O conteúdo principal é determinar para quais x>0 existe região (isto é, onde tfrac4x<= -3x^2+7x) e depois integrar em y entre essas curvas.

Passo 2

Vamos achar o intervalo em x resolvendo
4x <= -3x^2 +7x,
para x>0. Multiplicando ambos os lados por x (positivo), obtemos
4 <= -3x^3 +7x^2 Long<=ftrightarrow 3x^3 -7x^2 +4 <= 0
O polinômio 3x^3 -7x^2 +4 fatora-se como
3x^3 -7x^2 +4 = (x-1)(x-2)(3x+2)
Para x>0, os zeros relevantes são x=1 e x=2. Testando um valor entre 1 e 2 (por exemplo x=1,5) vê-se que o polinômio fica negativo, e fora desse intervalo ele é positivo. Logo a desigualdade ocorre exatamente em
1 <= x <= 2

Passo 3

Agora o conjunto B pode ser descrito como
1 <= x <= 2, 4x <= y <= -3x^2+7x
A área de B é então
integral duplaB 1,dA = integralx=1^2 integraly=4x^,y=-3x^2+7x 1 ,dy,dx = integral1^2 l[(-3x^2+7x) - tfrac4xr] dx

Passo 4

Vamos calcular
integral1^2 l(-3x^2+7xr)dx = l[-x^3 + tfrac72x^2r]1^2, integral1^2 4xdx = l[4ln xr]1^2
Portanto
integral1^2l[(-3x^2+7x)-tfrac4xr]dx = l(-8 +14 -4ln2r) - l(-1 +tfrac72-0r)

Passo 5

Calculando os valores:
(-8+14-4ln2) = 6 -4ln2, (-1 + tfrac72) = tfrac52
Logo a área é
(6 -4ln2) - tfrac52 = tfrac122 - tfrac52 -4ln2 = tfrac72 -4ln2

Resposta

A área do conjunto B é
72 ;-;4ln 2

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