V=integral0^1 integral0^y x y d x d y+integral1^2 integral0^2-y x y d x d y
Esboce a região R do plano x y, expresse V como uma integral dupla na qual a ordem de integração é invertida e calcule V.

Passo 1

O enunciado define
V = integral0^1integral0^y x,y ,dx,dy ;+;integral1^2integral0^2-y x,y ,dx,dy
e pede três coisas: esboçar a região R no plano xy, inverter a ordem de integração e calcular V. O conteúdo é integral dupla sobre região descrita em duas partes.

Passo 2

A região R é a união de dois triângulos:
  1. Para 0<= y<=1, temos 0<= x<= y. Isso é o triângulo com vértices em (0,0),(1,1),(0,1).
  2. Para 1<= y<=2, temos 0<= x<= 2-y. Isso é o triângulo com vértices em (0,1),(1,1),(0,2).
    Juntos formam um “diamante” limitado por x=0, y=x e y=2-x, com 0<= y<=2.

Passo 3

Para inverter a ordem, note que o menor x em toda região é 0 e o maior é 1. Para cada xin[0,1], y varia da curva de baixo y=x até a curva de cima y=2-x. Logo,
R=(x,y)mid 0<= x<=1,;x<= y<=2-x

Passo 4

Escrevendo V com ordem invertida:
V = integral0^1integralx^2-x x,y ;dy,dx

Passo 5

Calculemos:
integralx^2-x x,y,dy = x;l[tfracy^22r]y=x^y=2-x = x2l((2-x)^2-x^2r) = x2l(4-4xr) =2x-2x^2
Então
V = integral0^1(2x-2x^2),dx = l[x^2-tfrac23x^3r]0^1 =1-tfrac23 =tfrac13

Resposta

V = integral0^1!integralx^2-x x,y ,dy,dx = 13

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