Usando coordenadas esféricas, calcule
(c)
, onde
é a interseção da semi-esfera
e
com o cilindro
.
(c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a região dada por
O conteúdo envolve integração tripla em coordenadas esféricas, usando
com Jacobiano
.
Passo 2
Em coordenadas esféricas o integrando
vira
e o elemento de volume é
. Logo a integral fica
Passo 3
A condição da semi-esfera dá
e a do cilindro dá
.
Então
Então
A igualdade
ocorre em
, então dividimos em dois regimes:
com
e
com
.
Passo 4
Substituindo o integrando e o Jacobiano temos
O fator em
só dá
.
Passo 5
Fazendo primeiro a integral em
:
Logo separamos
Passo 6
Calculando
:
pois
.
Passo 7
Calculando
:
Usando
resulta
,
logo
logo
Passo 8
Somando as duas partes