Usando coordenadas esféricas, calcule
(c) integral triplaB z d x d y d z, onde B é a interseção da semi-esfera x^2+y^2+z^2 <= 4 e z >= 0 com o cilindro x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral triplaB z,dx,dy,dz
onde B é a região dada por
x^2+y^2+z^2<=4, z>=0, x^2+y^2<=1
O conteúdo envolve integração tripla em coordenadas esféricas, usando
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com Jacobiano rho^2sinphi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas o integrando z vira rhocosphi e o elemento de volume é rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Logo a integral fica
integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/2integralrho=0^rhomax(phi) (rhocosphi),l(rho^2sinphir),drho,dphi,dtheta

Passo 3

A condição da semi-esfera dá rho<=2 e a do cilindro dá
rhosinphi<=1Rightarrow rho<=1/sinphi.
Então
rhomax(phi)=minl(2,;1/sinphir)
A igualdade 1/sinphi=2 ocorre em phi=pi/6, então dividimos em dois regimes:
phiin[0,pi/6] com rhoin[0,2] e
phiin[pi/6,pi/2] com rhoin[0,1/sinphi].

Passo 4

Substituindo o integrando e o Jacobiano temos
integral triplaBz,dV = integral0^2pi!dtheta gl[integral0^pi/6!!integral0^2 rho^3sinphicosphi,drho,dphi +integralpi/6^pi/2!!integral0^1/sinphi rho^3sinphicosphi,drho,dphigr]
O fator em theta só dá 2pi.

Passo 5

Fazendo primeiro a integral em rho:
integral0^rhomaxrho^3,drho =rhomax^44
Logo separamos
I1=2piintegral0^pi/62^44sinphicosphi,dphi, I2=2piintegralpi/6^pi/2(1/sinphi)^44sinphicosphi,dphi

Passo 6

Calculando I1:
2^44=4, I1=8piintegral0^pi/6sinphicosphi,dphi =8picdot18 =pi,
pois integral0^pi/6sinphicosphi,dphi=tfrac18.

Passo 7

Calculando I2:
(1/sinphi)^44=tfrac14csc^4phi, I2=pi2integralpi/6^pi/2csc^4phi,sinphicosphi,dphi =pi2integralpi/6^pi/2csc^3phicosphi,dphi
Usando d(csc^2phi)=-2csc^2phicotphi,dphi resulta
integralcsc^3phicosphi,dphi=32,
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I2=pi2cdot32=3pi4

Passo 8

Somando as duas partes
integral triplaBz,dV = I1 + I2 = pi + 3pi4 = 7pi4

Resposta

7pi4

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