Em cada caso, use a mudança de variáveis indicada para calcular a integral dupla dada.
(b) integral duplaR y sen(x y) d y d x, x=uv, y=v, R é a região entre os gráficos de x y=1, x y=4, y=1, y=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral duplaR ysin(xy),dy,dx
sobre a região R limitada por
xy=1, xy=4, y=1, y=4
usando a mudança de variáveis
x=uv, y=v
Para resolver, vamos (i) descrever a nova região em termos de (u,v), (ii) calcular o jacobiano da transformação, (iii) reescrever o integrando e a diferencial dx,dy em função de u,v e (iv) executar a integração no novo domínio.

Passo 2

Definimos
u = x,y, v = y
Como em R temos 1 <= xy <= 4 e 1 <= y <= 4, segue que
1 <= u <= 4, 1 <= v <= 4
Ou seja, no plano (u,v) o domínio transforma-se no retângulo
S = (u,v)mid 1<= u<=4,;1<= v<=4

Passo 3

Vamos calcular o jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y).
Temos
x=uv, y=v,
então
partial(x,y)partial(u,v) =det partial x/partial u & partial x/partial v partial y/partial u & partial y/partial v =det 1/v & -u/v^2 0 & 1 =1v
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dx,dy = l|tfracpartial(x,y)partial(u,v)r|,du,dv =1v,du,dv

Passo 4

Reescrevemos o integrando e a diferencial:
ysin(xy),dx,dy = vsin(u),1v,du,dv =sin(u),du,dv
Assim a integral fica
integral duplaRysin(xy),dy,dx =integral duplaSsin(u),du,dv =integralv=1^4!integralu=1^4sin(u),du,dv
Como sin(u) não depende de v, separamos:
l(integralu=1^4sin(u),dur) l(integralv=1^41,dvr)

Passo 5

Calculando as integrais separadas:
integralu=1^4sin(u),du =l[-cos(u)r]1^4 =-cos(4)+cos(1),
integralv=1^41,dv = 4-1 = 3
Multiplicando, obtemos
3l(cos(1)-cos(4)r)

Resposta

3l(cos(1)-cos(4)r)

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