39 O departamento de controle de qualidade de uma metalúrgica avaliou 400 peças do tipo A e 600 do tipo B, concluindo que 72 do tipo A e 113 do tipo B apresentaram medidas fora da especificação; 48 do tipo A e 67 do tipo B apresentaram avarias; e 280 do tipo A e 420 do tipo B estavam perfeitas. Após essa avaliação, a chefe do departamento escolheu, ao acaso, uma dessas peças, constatando que era perfeita. Qual é a probabilidade de a peça escolhida ser do tipo B?

Passo 1

O enunciado diz que a gente tem 1 000 peças no total: 400 do tipo A e 600 do tipo B. Dessas, 280 (de A) e 420 (de B) estão perfeitas. Foi escolhida uma peça ao acaso e ela é perfeita. A pergunta: qual a probabilidade de que essa peça perfeita seja do tipo B?
Conteúdo: probabilidade condicional e lei da probabilidade total. Vamos precisar entender:
  • Como calcular probabilidades de eventos simples (ex.: P(A), P(B));
  • O que é probabilidade condicional (P(B|P));
  • A fórmula de Bayes / probabilidade total pra encontrar P§.

Passo 2

Primeiro a gente define os eventos e calcula probabilidades básicas:
  • A = “peça é do tipo A” ⇒ P(A)=400/1000
  • B = “peça é do tipo B” ⇒ P(B)=600/1000
  • P = “peça é perfeita”
Agora, as probabilidades de perfeição dentro de cada tipo:
  • P(P|A) = número de A perfeitas ÷ total de A = 280/400
  • P(P|B) = número de B perfeitas ÷ total de B = 420/600
Em LaTeX:
P(A)=\frac{400}{1000},\quad P(B)=\frac{600}{1000}
P(P|A)=\frac{280}{400},\quad P(P|B)=\frac{420}{600}

Passo 3

Usamos a lei da probabilidade total para achar P§, a chance de sair qualquer peça perfeita:
P§=P(A),P(P|A);+;P(B),P(P|B)
Substituindo:
P(P)=4001000cdot280400;+;6001000cdot420600 =;0,4cdot0,7;+;0,6cdot0,7 =;0,28;+;0,42 =;0,70

Passo 4

Agora aplicamos a definição de probabilidade condicional (ou fórmula de Bayes):
P(Bmid P)=P(B),P(Pmid B)P(P)
Substituindo os valores:
P(Bmid P) =6001000cdot4206000,70 =0,6cdot0,70,70 =0,420,70 =4270 =35 =0,6

Resposta

A probabilidade de a peça perfeita escolhida ser do tipo B é 35 ou 0,6 (60 %).

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