1- a) Simplifique a seguinte expressão racional:
f(x)= \frac{2 x{2}-x-1}{x{2}-9} \cdot \frac{x+3}{2 x+1}
b) Usando a letra a) calcule \lim _{x \rightarrow-3} f(x)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a função racional
f(x)=2x^2-x-1x^2-9cdotx+32x+1
pelo estudo de fatoração e depois usar essa forma simplificada para calcular o limite quando xto-3. Vamos precisar fatorar polinômios (quadrático e diferença de quadrados), cancelar fatores comuns e aplicar substituição no limite.

Passo 2

Primeiro fatoramos o numerador 2x^2-x-1. Procuramos dois números cujo produto seja 2cdot(-1)=-2 e cuja soma seja -1. Esses números são -2 e 1. Então
2x^2-x-1=2x^2-2x+x-1=2x(x-1)+1(x-1)=(2x+1)(x-1)

Passo 3

Agora fatoramos o denominador x^2-9 como diferença de quadrados:
x^2-9=(x-3)(x+3)
Logo a expressão original fica
f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)(x+3)cdotx+32x+1

Passo 4

Podemos cancelar os fatores comuns 2x+1 e x+3, lembrando que isso só vale para xneq-3,,xneq3,,xneq-tfrac12. Assim obtemos a forma simplificada:
f(x)=x-1x-3, xneq3,,-3,,-tfrac12

Passo 5

Com a forma simplificada, o limite quando xto-3 é imediato por substituição:
limxto-3f(x)=limxto-3x-1x-3=-3-1-3-3=-4-6=23

Resposta

a) Simplificada: f(x)=x-1x-3 b) limxto-3f(x)=23

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