Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.
( ) lim n infty n!1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
an = n!1cdot3cdot5cdots(2n-1)
tende a zero quando ntoinfty.
O conteúdo envolve limites de sequências e uma comparação via razão entre termos consecutivos para mostrar que an decresce geometricamente.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
anan-1 = n!1cdot3cdots(2n-1)(n-1)!1cdot3cdots(2n-3) = n2n-1

Passo 3

Para todo n>=2 tem-se
n2n-1 < 23,
pois n2n-1 = 12 - 1/n<12 - 1/2=tfrac23.
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an = n2n-1,an-1 < 23,an-1

Passo 4

Pela desigualdade recursiva obtém-se
an < l(tfrac23r)^n-1a1
Como a1=1 e l(tfrac23r)^n-1to0 quando ntoinfty, segue que anto0.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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