39- Um gás hidrogênio inicialmente ocupa um volume de 50 \mathrm{~m}^{3} sob a pressão de 10 Pa , em dada temperatura. Determine o volume ocupado por esse gás quando sua pressão muda para 2 Pa , mantendo a mesma temperatura.
a) 250 \mathrm{~m}^{3}
b) 375 \mathrm{~m}^{3}
c) 500 \mathrm{~m}^{3}
d) 625 \mathrm{~m}^{3}

Passo 1

O enunciado dá um gás hidrogênio que inicialmente ocupa um volume de \;50\\ \mathrm{m}^3\; sob pressão de \;10\\ \mathrm{Pa}\;, e pede para determinar o volume ocupado por esse gás quando a pressão muda para \;2\\ \mathrm{Pa}\;, mantendo a mesma temperatura.
Informações fornecidas:
p_1 = 10\\ \mathrm{Pa},\quad V_1 = 50\\ \mathrm{m}^3,\quad p_2 = 2\\ \mathrm{Pa}.
Pergunta: encontrar V_2, o volume final do gás, e indicar a alternativa correta entre:
a) \;250\\ \mathrm{m}^3\;
b) \;375\\ \mathrm{m}^3\;
c) \;500\\ \mathrm{m}^3\;
d) \;625\\ \mathrm{m}^3\;

Passo 2

Quando a temperatura é mantida constante para um gás (processo isotérmico), existe uma relação entre pressão e volume que diz que o produto pressão vezes volume permanece constante enquanto a temperatura não muda. Escrevemos essa relação para os estados inicial e final do gás como:
p_1 V_1 = p_2 V_2.
Aqui cada símbolo significa:
p_1 \text{ é a pressão inicial (em Pa),}éã
V_1 \text{ é o volume inicial (em m}^3\text{),}é
p_2 \text{ é a pressão final (em Pa),}éã
V_2 \text{ é o volume final (em m}^3\text{).}é
Essa fórmula é uma forma prática da chamada lei de Boyle para gases ideais em temperatura constante. Intuitivamente: se a pressão diminui, o volume aumenta de forma inversamente proporcional, desde que a temperatura seja a mesma.

Passo 3

Isolamos V_2 na equação p_1 V_1 = p_2 V_2. Fazendo álgebra simples (dividindo ambos os lados por p_2) obtemos a fórmula prática para calcular o volume final:
V_2 = \frac{p_1 V_1}{p_2}.
Explicando o passo algébrico: começar com p_1 V_1 = p_2 V_2. Dividimos os dois lados por p_2 para deixar V_2 isolado:
\frac{p_1 V_1}{p_2} = V_2.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos fornecidos pelo enunciado na fórmula obtida. Usamos os números exatamente como dados:
V_2 = \frac{p_1 V_1}{p_2} = \frac{10\\ \mathrm{Pa}\times 50\\ \mathrm{m}^3}{2\\ \mathrm{Pa}}.
Calculamos o numerador:
10\\ \mathrm{Pa}\times 50\\ \mathrm{m}^3 = 500\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3.
Dividindo pelo denominador:
V_2 = \frac{500\\ \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m}^3}{2\\ \mathrm{Pa}} = 250\\ \mathrm{m}^3.
Note que as unidades de pressão ( \mathrm{Pa}) cancelam entre numerador e denominador, sobrando \mathrm{m}^3 como unidade de volume, que é consistente.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida: a pressão caiu de \;10\\ \mathrm{Pa}\; para \;2\\ \mathrm{Pa}\;, ou seja, a pressão passou a ser \tfrac{1}{5} da original; portanto o volume deve aumentar por um fator de 5. De fato, 50\\ \mathrm{m}^3\times 5 = 250\\ \mathrm{m}^3. Isso confirma que o cálculo está coerente. Entre as alternativas dadas, a correta é a letra (a).

Resposta

a) \;250\\ \mathrm{m}^3

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