39 A posição de um robo cie inspeção no campus do IFPE e dada por X(t)=\ell-12 t+10 (metros e segundos). Deierrine a velocidade e a aceleração do robô no instante t=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição do robô em função do tempo e pede velocidade e aceleração no instante t=2\\ \mathrm{s}. Informações fornecidas:
  • A posição é X(t)=t^{3}-12t+10 (metros, tempo em segundos).
  • Pergunta 1: determinar a velocidade do robô no instante t=2\\ \mathrm{s}.
  • Pergunta 2: determinar a aceleração do robô no instante t=2\\ \mathrm{s}.

Passo 2

O que é velocidade neste contexto e como calculamos: velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a derivada de X(t) em relação a t. Em símbolos, a velocidade v(t) é
v(t)=\frac{dX}{dt}.
Regra básica que vamos usar: a derivada de uma potência é dada por \dfrac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}. Além disso, a derivada de uma constante é zero e a derivada de uma constante multiplicada por t é essa constante.

Passo 3

Aplicando essas regras à função X(t)=t^{3}-12t+10:
  • Derivada de t^{3} é 3t^{2}.
  • Derivada de -12t é -12.
  • Derivada de +10 é 0.
Portanto a velocidade em função do tempo é
v(t)=3t^{2}-12.
Unidade: metros por segundo ( \mathrm{m/s}).

Passo 4

O que é aceleração e como calculamos: aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a derivada de v(t). Em símbolos,
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}X}{dt^{2}}.
Aplicando a regra de derivação a v(t)=3t^{2}-12:
  • Derivada de 3t^{2} é 6t.
  • Derivada de -12 é 0.
Logo a aceleração é
a(t)=6t.
Unidade: metros por segundo ao quadrado ( \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 5

Agora avaliamos as expressões em t=2\\ \mathrm{s}.
Calcular v(2):
v(2)=3\cdot(2)^{2}-12=3\cdot4-12=12-12=0.
Então a velocidade instantânea no instante 2\\ \mathrm{s} é 0\\ \mathrm{m/s} (o robô está momentaneamente parado).
Calcular a(2):
a(2)=6\cdot 2=12.
Então a aceleração no instante 2\\ \mathrm{s} é 12\\ \mathrm{m/s^{2}} (o robô tem aceleração positiva, isto é, começará a aumentar sua velocidade para valores positivos logo após t=2\\ \mathrm{s}).

Resposta

Velocidade: v(2)=0\\ \mathrm{m/s}
Aceleração: a(2)=12\\ \mathrm{m/s^{2}}

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