Justificativa: multiplicando ambos os lados por o número não negativo |x+y| (o que é legítimo) dá exatamente |x| \le |x+y|. Aqui já estamos implicitamente exigindo x+y\neq0 para que a fração original faça sentido; trataremos essa restrição explicitamente depois.
Passo 5
Para eliminar os valores absolutos podemos elevar ao quadrado (lado esquerdo e direito são não-negativos), obtendo
x^2 \le (x+y)^2.
Agora expandimos o lado direito:
x^2 \le x^2 + 2xy + y^2.
Subtraindo x^2 dos dois lados:
0 \le 2xy + y^2.
Fatorando:
0 \le y(2x+y),
ou seja
y(2x+y) \ge 0.
Passo 6
Portanto a condição sobre (x,y) decorrente de |x/(x+y)|\le1 é
y(2x+y) \ge 0.
Mas lembre-se: devemos também exigir x+y \ne 0 (pois quando x+y=0 a expressão \dfrac{x}{x+y} é indefinida). Em particular o ponto (0,0) fica excluído.
Resumo analítico até aqui: os pontos do domínio satisfazem
y(2x+y)\ge 0 \quad\text{e}\quad x+y\ne 0.
Passo 7
Interpretando a desigualdade y(2x+y)\ge 0: o produto de duas quantidades é não negativo quando essas quantidades têm o mesmo sinal (ambas não-negativas ou ambas não-positivas) ou quando uma delas é zero. Assim há dois casos:
y \ge 0 e 2x+y \ge 0; ou
y \le 0 e 2x+y \le 0.
Cada uma dessas desigualdades representa um meio-plano limitado por retas. Vamos transformar isso em uma descrição geométrica clara.
Passo 8
As retas relevantes são:
y=0 (eixo x);
y=-2x (reta passando pela origem com coeficiente angular -2);
a reta excluída y=-x (onde x+y=0, que não pertence ao domínio).
A condição y\ge0 e 2x+y\ge0 corresponde à região do plano que está simultaneamente acima da reta y=0 e acima da reta y=-2x. Isso é um setor fechado entre as duas retas, com vértice na origem, contendo pontos como (1,1).
A condição y\le0 e 2x+y\le0 corresponde ao setor oposto (simétrico pelo polo) que está simultaneamente abaixo da reta y=0 e abaixo da reta y=-2x, contendo pontos como (-1,-1).
Em ambas as peças, as fronteiras y=0 e y=-2x fazem parte do conjunto (pois a desigualdade é \ge 0), exceto que a reta y=-x deve ser removida por fazer o denominador zero. Note também que o ponto (0,0) está sobre todas essas retas simultaneamente e precisa ser excluído pois x+y=0 aí.
Passo 9
Exemplos rápidos para fixar:
Para (x,y)=(1,1): x+y=2\ne0 e \dfrac{x}{x+y}=\dfrac{1}{2}\in[-1,1] → pertence ao domínio.
Para (x,y)=(1,-1): x+y=0 → excluído (fração indefinida).
Para (x,y)=(1,-2): y=-2\le0 e 2x+y=2-2=0 → pertence (argumento -1).
Passo 10
Colocando de forma compacta a resposta analítica e a descrição geométrica:
Set geometricamente: união dos dois setores fechados limitados pelas retas y=0 e y=-2x (o setor acima dessas retas e o setor abaixo dessas retas), com as fronteiras y=0 e y=-2x incluídas, mas com a reta y=-x (onde x+y=0) removida — em particular o ponto (0,0) está excluído.