Questão 1: Determine analiticamente e geometricamente o domínio da função f(x, y)=\arcsin \left(\frac{x}{x+y}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{x+y}\right) e pede duas coisas:
  • Determinar analiticamente o domínio de f.
  • Descrever geometricamente esse domínio no plano (x,y).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão interna é \dfrac{x}{x+y}.
  • A função \arcsin só está definida para argumentos no intervalo [-1,1].
  • A fração \dfrac{x}{x+y} exige que o denominador x+y seja diferente de zero.

Passo 2

Lembrete rápido e didático sobre as condições que vamos usar:
  • A condição de existência da \arcsin é que o argumento esteja em [-1,1]. Ou seja, precisamos de
-1 \le \frac{x}{x+y} \le 1.
  • Além disso, a fração exige x+y \ne 0.
Vou trabalhar primeiro a desigualdade e depois lembrar de excluir os pontos com x+y=0.

Passo 3

A desigualdade
-1 \le \frac{x}{x+y} \le 1
é equivalente (porque o termo do meio é uma razão real) a
\left|\frac{x}{x+y}\right| \le 1.
Isso significa que o valor absoluto do numerador é menor ou igual ao valor absoluto do denominador. É uma forma mais simples de raciocinar.

Passo 4

Da desigualdade com valor absoluto obtemos
\left|\frac{x}{x+y}\right| \le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x| \le |x+y|.
Justificativa: multiplicando ambos os lados por o número não negativo |x+y| (o que é legítimo) dá exatamente |x| \le |x+y|. Aqui já estamos implicitamente exigindo x+y\neq0 para que a fração original faça sentido; trataremos essa restrição explicitamente depois.

Passo 5

Para eliminar os valores absolutos podemos elevar ao quadrado (lado esquerdo e direito são não-negativos), obtendo
x^2 \le (x+y)^2.
Agora expandimos o lado direito:
x^2 \le x^2 + 2xy + y^2.
Subtraindo x^2 dos dois lados:
0 \le 2xy + y^2.
Fatorando:
0 \le y(2x+y),
ou seja
y(2x+y) \ge 0.

Passo 6

Portanto a condição sobre (x,y) decorrente de |x/(x+y)|\le1 é
y(2x+y) \ge 0.
Mas lembre-se: devemos também exigir x+y \ne 0 (pois quando x+y=0 a expressão \dfrac{x}{x+y} é indefinida). Em particular o ponto (0,0) fica excluído.
Resumo analítico até aqui: os pontos do domínio satisfazem
y(2x+y)\ge 0 \quad\text{e}\quad x+y\ne 0.

Passo 7

Interpretando a desigualdade y(2x+y)\ge 0: o produto de duas quantidades é não negativo quando essas quantidades têm o mesmo sinal (ambas não-negativas ou ambas não-positivas) ou quando uma delas é zero. Assim há dois casos:
  • y \ge 0 e 2x+y \ge 0; ou
  • y \le 0 e 2x+y \le 0.
Cada uma dessas desigualdades representa um meio-plano limitado por retas. Vamos transformar isso em uma descrição geométrica clara.

Passo 8

As retas relevantes são:
  • y=0 (eixo x);
  • y=-2x (reta passando pela origem com coeficiente angular -2);
  • a reta excluída y=-x (onde x+y=0, que não pertence ao domínio).
A condição y\ge0 e 2x+y\ge0 corresponde à região do plano que está simultaneamente acima da reta y=0 e acima da reta y=-2x. Isso é um setor fechado entre as duas retas, com vértice na origem, contendo pontos como (1,1).
A condição y\le0 e 2x+y\le0 corresponde ao setor oposto (simétrico pelo polo) que está simultaneamente abaixo da reta y=0 e abaixo da reta y=-2x, contendo pontos como (-1,-1).
Em ambas as peças, as fronteiras y=0 e y=-2x fazem parte do conjunto (pois a desigualdade é \ge 0), exceto que a reta y=-x deve ser removida por fazer o denominador zero. Note também que o ponto (0,0) está sobre todas essas retas simultaneamente e precisa ser excluído pois x+y=0 aí.

Passo 9

Exemplos rápidos para fixar:
  • Para (x,y)=(1,1): x+y=2\ne0 e \dfrac{x}{x+y}=\dfrac{1}{2}\in[-1,1] → pertence ao domínio.
  • Para (x,y)=(1,-1): x+y=0 → excluído (fração indefinida).
  • Para (x,y)=(1,-2): y=-2\le0 e 2x+y=2-2=0 → pertence (argumento -1).

Passo 10

Colocando de forma compacta a resposta analítica e a descrição geométrica:

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;y(2x+y)\ge 0,\;x+y\ne 0\}
Set geometricamente: união dos dois setores fechados limitados pelas retas y=0 e y=-2x (o setor acima dessas retas e o setor abaixo dessas retas), com as fronteiras y=0 e y=-2x incluídas, mas com a reta y=-x (onde x+y=0) removida — em particular o ponto (0,0) está excluído.

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