Questão 6: Encontre a equação do plano tangente e da reta normal à superfície z=x^{2} y+e^{x^{2}+y^{2}}, no ponto x=1, y=1.

Passo 1

O enunciado dá a superfície z=f(x,y)=x^{2}y+e^{x^{2}+y^{2}} e pede duas coisas no ponto com x=1 e y=1:
  • A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
  • A equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Informações relevantes que já temos (retiradas diretamente do enunciado):
  • As coordenadas do ponto na superfície são (x_{0},y_{0})=(1,1).
  • O valor de z no ponto é
z_{0}=f(1,1)=1^{2}\cdot1+e^{1^{2}+1^{2}}=1+e^{2}.
Logo o ponto no espaço é \bigl(1,1,1+e^{2}\bigr).

Passo 2

Entendendo o que é o plano tangente e como encontrá-lo (aula rápida e sem pânico).
  • Uma superfície dada por z=f(x,y) tem no ponto (x_{0},y_{0}) uma aproximação linear (o plano tangente) que usa as derivadas parciais de f: a inclinação do plano na direção x é \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0}) e na direção y é \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0}).
  • A fórmula padrão do plano tangente é a linearização de f:
z = f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Cada termo tem interpretação: f(x_{0},y_{0}) é o valor da superfície no ponto e os outros termos dão as correções lineares quando nos deslocamos em x ou y.
Para a reta normal:
  • O vetor normal ao plano tangente (e portanto normal à superfície) pode ser tomado como
\mathbf{n}=(-f_{x}(x_{0},y_{0}),-f_{y}(x_{0},y_{0}),1),
pois esse vetor é ortogonal ao vetor tangente (1,0,f_x) e a (0,1,f_y). A reta normal passa pelo ponto \bigl(1,1,1+e^{2}\bigr) e tem direção \mathbf{n}; suas equações paramétricas são
x=1 - f_{x}(1,1)\,t,\qquad y=1 - f_{y}(1,1)\,t,\qquad z=1+e^{2}+t,
onde t é o parâmetro.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}y+e^{x^{2}+y^{2}} (passo a passo).
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
    • Derivada de x^{2}y em relação a x é 2xy (tratar y como constante).
    • Para e^{x^{2}+y^{2}}, usar a regra da cadeia: se g(x)=e^{u(x)} então g'(x)=e^{u(x)}u'(x). Aqui u(x)=x^{2}+y^{2} tem u'(x)=2x. Logo a derivada é 2x e^{x^{2}+y^{2}}.
    • Somando:
    \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy+2x e^{x^{2}+y^{2}}=2x\bigl(y+e^{x^{2}+y^{2}}\bigr).
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
    • Derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2}.
    • Derivada de e^{x^{2}+y^{2}} em relação a y é 2y e^{x^{2}+y^{2}} pela regra da cadeia.
    • Somando:
    \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^{2}+2y e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto (1,1).
  • Substituindo x=1 e y=1 em \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=2\cdot1\bigl(1+e^{1^{2}+1^{2}}\bigr)=2\bigl(1+e^{2}\bigr).
  • Substituindo em \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=1^{2}+2\cdot1\cdot e^{1^{2}+1^{2}}=1+2e^{2}.
  • Já tínhamos z_{0}=1+e^{2}.

Passo 5

Montar a equação do plano tangente substituindo na fórmula da linearização.
  • Usando a fórmula
z = f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})
com x_{0}=1, y_{0}=1, f(1,1)=1+e^{2}, f_{x}(1,1)=2(1+e^{2}) e f_{y}(1,1)=1+2e^{2}, obtemos
z = 1+e^{2} + 2\bigl(1+e^{2}\bigr)(x-1) + \bigl(1+2e^{2}\bigr)(y-1).
Se quiser escrever o plano em forma linear expandida, pode-se reorganizar (não é obrigatório), dando
z = \bigl(2+2e^{2}\bigr)x + \bigl(1+2e^{2}\bigr)y -2-3e^{2}.

Passo 6

Montar a equação da reta normal (forma paramétrica e forma simétrica).
  • Tomando o vetor normal
\mathbf{n}=(-f_{x}(1,1),-f_{y}(1,1),1)=\bigl(-2(1+e^{2}),\,-(1+2e^{2}),\,1\bigr),
as equações paramétricas da reta normal, com parâmetro t e passando por \bigl(1,1,1+e^{2}\bigr), são
x=1-2\bigl(1+e^{2}\bigr)t,\qquad y=1-\bigl(1+2e^{2}\bigr)t,\qquad z=1+e^{2}+t.
  • Em forma simétrica (quando os denominadores não são zero), obtém-se
\frac{x-1}{-2(1+e^{2})}=\frac{y-1}{-(1+2e^{2})}=\frac{z-(1+e^{2})}{1}.

Resposta

z = 1+e^{2} + 2\bigl(1+e^{2}\bigr)(x-1) + \bigl(1+2e^{2}\bigr)(y-1)\n
x=1-2\bigl(1+e^{2}\bigr)t,\; y=1-\bigl(1+2e^{2}\bigr)t,\; z=1+e^{2}+t

Exercícios relacionados