Questão 6: Encontre a equação do plano tangente e da reta normal à superfície
, no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede duas coisas no ponto com
e
:
- A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
- A equação da reta normal à superfície nesse ponto.
Informações relevantes que já temos (retiradas diretamente do enunciado):
- As coordenadas do ponto na superfície são
. - O valor de
no ponto é
Logo o ponto no espaço é
.
Passo 2
Entendendo o que é o plano tangente e como encontrá-lo (aula rápida e sem pânico).
- Uma superfície dada por
tem no ponto uma aproximação linear (o plano tangente) que usa as derivadas parciais de : a inclinação do plano na direção é e na direção é . - A fórmula padrão do plano tangente é a linearização de
:
Cada termo tem interpretação:
é o valor da superfície no ponto e os outros termos dão as correções lineares quando nos deslocamos em
ou
.
Para a reta normal:
- O vetor normal ao plano tangente (e portanto normal à superfície) pode ser tomado como
pois esse vetor é ortogonal ao vetor tangente
e a
. A reta normal passa pelo ponto
e tem direção
; suas equações paramétricas são
onde
é o parâmetro.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(passo a passo).
- Para
: - Derivada de
em relação a é (tratar como constante). - Para
, usar a regra da cadeia: se então . Aqui tem . Logo a derivada é . - Somando:
- Derivada de
- Para
: - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é pela regra da cadeia. - Somando:
- Derivada de
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
.
- Substituindo
e em :
- Substituindo em
:
- Já tínhamos
.
Passo 5
Montar a equação do plano tangente substituindo na fórmula da linearização.
- Usando a fórmula
com
,
,
,
e
, obtemos
Se quiser escrever o plano em forma linear expandida, pode-se reorganizar (não é obrigatório), dando
Passo 6
Montar a equação da reta normal (forma paramétrica e forma simétrica).
- Tomando o vetor normal
as equações paramétricas da reta normal, com parâmetro
e passando por
, são
- Em forma simétrica (quando os denominadores não são zero), obtém-se