Uma amostra aleatória de alturas de 20 crianças resultou em:
\begin{array}{llllllllllllllllll} 142 & 134 & 98 & 119 & 131 & 103 & 154 & 122 & 93 & 137 & 86 & 119 & 161 & 144 & 158 & 165 & 81 & 117 \\\\ 128 & 103 \end{array}
Obtenha um intervalo de 95 \% para o terceiro quartil da distribuição.

Passo 1

Temos uma amostra aleatória de tamanho n=20 com as alturas de crianças e queremos um intervalo de confiança de 95\% para o terceiro quartil (isto é, o quantil de ordem p=0,75) da distribuição populacional. Vamos usar o método baseado em estatísticas de ordem e na distribuição binomial, que nos dá índices k e m tais que
P\bigl(X_{(k)} \le Q_{0,75} \le X_{(m)}\bigr)\approx 0{,}95.

Passo 2

Ordenamos os dados em ordem crescente para obter as estatísticas de ordem X_{(1)},X_{(2)},\dots,X_{(20)}:
\begin{aligned} X_{(1)}&=81,&X_{(2)}&=86,&X_{(3)}&=93,&X_{(4)}&=98,\\\ X_{(5)}&=103,&X_{(6)}&=103,&X_{(7)}&=117,&X_{(8)}&=119,\\\ X_{(9)}&=119,&X_{(10)}&=122,&X_{(11)}&=128,&X_{(12)}&=131,\\\ X_{(13)}&=134,&X_{(14)}&=137,&X_{(15)}&=142,&X_{(16)}&=144,\\\ X_{(17)}&=154,&X_{(18)}&=158,&X_{(19)}&=161,&X_{(20)}&=165. \end{aligned}

Passo 3

Para um quantil de ordem p=0,75 em amostra de tamanho n, a quantidade de observações menores ou iguais ao verdadeiro quantil segue aproximadamente \mathrm{Binomial}(n,p). Definimos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025. Procuramos inteiros k e m tais que
  1. P\bigl(\mathrm{Bin}(n,p)\le k-1\bigr)\le0{,}025,
  2. P\bigl(\mathrm{Bin}(n,p)\ge m\bigr)\le0{,}025.
Então o intervalo aproximado é
\bigl[X_{(k)},\,X_{(m)}\bigr].

Passo 4

Calculamos para n=20 e p=0,75:
  • Pelo cálculo exato (ou aproximação normal), obtemos k-1=10 pois
P\bigl(\mathrm{Bin}(20,0{,}75)\le10\bigr)\approx0{,}01<0{,}025 \quad\text{e}\quad P\bigl(\mathrm{Bin}(20,0{,}75)\le11\bigr)\approx0{,}036>0{,}025.
Logo k=11.
  • De modo análogo, achamos m=19 pois
P\bigl(\mathrm{Bin}(20,0{,}75)\ge19\bigr)\approx0{,}024<0{,}025 \quad\text{e}\quad P\bigl(\mathrm{Bin}(20,0{,}75)\ge18\bigr)\approx0{,}091>0{,}025.

Passo 5

Portanto o intervalo de confiança de 95\% para o terceiro quartil é
\bigl[X_{(11)},\,X_{(19)}\bigr] =\bigl[128,\;161\bigr].

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para o terceiro quartil é [128,\,161].

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