3a Questão ( 10 pontos) Expresse o número 1, \overline{73}=1,73737373 \cdots como uma razão de inteiros.

Passo 1

O enunciado nos pede para expressar o número periódico
1,\overline{73}=1,737373\ldots
como uma razão de inteiros. O conteúdo aqui é transformar um decimal periódico em fração usando o método de equações para eliminar a parte repetida.

Passo 2

Seja
x = 1,\overline{73}.
Como o período tem 2 dígitos, multiplicamos ambos os lados por 10^2=100, obtendo
100x = 173,\overline{73}.

Passo 3

Agora subtraímos a expressão original da expressão multiplicada para eliminar o trecho periódico:
100x - x = 173,\overline{73} - 1,\overline{73}
Isso resulta em
99x = 172.

Passo 4

Isolando x, temos
x = \frac{172}{99}.
Para verificar se dá para simplificar, note que 172=2^2\cdot43 e 99=3^2\cdot11 não têm fatores em comum além de 1. Logo, a fração está irredutível.

Resposta

\frac{172}{99}

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