Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{2 n}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\biggl(\frac{2n}{n+1}\biggr)
é convergente ou divergente. Vamos usar dois argumentos clássicos de séries numéricas:
  1. O teste da divergência, que afirma que, se o termo geral a_n não tende a zero, a série \sum a_n diverge.
  2. O cálculo explícito da soma parcial por telescoping (produto dentro do logaritmo), para ver o comportamento de \displaystyle S_N = \sum_{n=1}^{N}\ln\!\bigl(\tfrac{2n}{n+1}\bigr).

Passo 2

Analisamos primeiro o limite do termo geral. Seja
a_n = \ln\!\biggl(\frac{2n}{n+1}\biggr).
Então
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl[\ln(2n)-\ln(n+1)\Bigr] = \lim_{n\to\infty}\bigl[\ln2 + \ln n - \ln(n+1)\bigr] = \ln2 + \lim_{n\to\infty}\ln\!\bigl(\tfrac{n}{n+1}\bigr) = \ln2 + 0 = \ln2\neq 0.
Pelo teste da divergência, como \lim_{n\to\infty}a_n\neq 0, a série \sum a_n necessariamente diverge.

Passo 3

Para reforçar, calculamos a soma parcial em forma de produto dentro do logaritmo:
S_N = \sum_{n=1}^{N}\ln\!\biggl(\frac{2n}{n+1}\biggr) = \ln\!\prod_{n=1}^{N}\frac{2n}{n+1} = \ln\!\Bigl(\frac{2^N\,N!}{(N+1)!/1}\Bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{2^N}{N+1}\Bigr) = N\ln2 - \ln(N+1).
Como N\ln2\to\infty mais rápido que \ln(N+1), temos S_N\to\infty. Logo a série não só diverge, como seus termos parciais crescem sem limite.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\bigl(\tfrac{2n}{n+1}\bigr) é divergente.

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