Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Vamos usar dois argumentos clássicos de séries numéricas:
- O teste da divergência, que afirma que, se o termo geral
não tende a zero, a série diverge. - O cálculo explícito da soma parcial por telescoping (produto dentro do logaritmo), para ver o comportamento de
.
Passo 2
Analisamos primeiro o limite do termo geral. Seja
Então
Pelo teste da divergência, como
, a série
necessariamente diverge.
Passo 3
Para reforçar, calculamos a soma parcial em forma de produto dentro do logaritmo:
Como
mais rápido que
, temos
. Logo a série não só diverge, como seus termos parciais crescem sem limite.
Resposta
A série
é divergente.