Determinar os intervalos onde as funções abaixo são crescentes e decrescentes.
\quad f(x)=x e^{-x}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
f(x)=x e^{-x}.
O conteúdo é o teste da derivada: a gente precisa calcular f'(x) e analisar onde ela é positiva (cresce) ou negativa (decresce).

Passo 2

Usamos a regra do produto para derivar f(x)=x\cdot e^{-x}. Temos
f'(x)=\frac{d}{dx}[x]\;e^{-x}+x\;\frac{d}{dx}[e^{-x}]
ou seja
f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x).

Passo 3

Para estudar o sinal de f'(x)=e^{-x}(1-x), notamos que e^{-x}>0 para todo x. Logo o sinal de f' vem de 1-x:
- Se 1-x>0, ou seja x<1, então f'(x)>0 e f é crescente.
- Se 1-x<0, ou seja x>1, então f'(x)<0 e f é decrescente.
Em x=1 temos f'(1)=0, um ponto crítico.

Resposta

A função é crescente em (-\infty,1) e decrescente em (1,\infty).

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