Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta!
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-n}}{n!}
é convergente ou divergente. Trata-se de uma série de termos positivos, então vamos usar o Critério da Razão (d’Alembert), que é indicado para séries envolvendo fatoriais e exponenciais.

Passo 2

Defina a_n = \frac{e^{-n}}{n!}. O Critério da Razão analisa
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e^{-(n+1)}/(n+1)!}{e^{-n}/n!} = \frac{e^{-n-1}}{e^{-n}}\cdot\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{e}\cdot\frac{1}{n+1} = \frac{1}{e(n+1)}.
Tomando o limite,
L = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{e(n+1)} = 0.

Passo 3

Como L = 0<1, o Critério da Razão garante que a série converge absolutamente. Portanto, ela converge.

Resposta

A série é convergente.

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