Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções.
f(x)= \begin{cases}2 x-x^{2}, & x<1 \\\ x, & x \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} 2x - x^{2}, & x<1,\\\ x, & x\ge1, \end{cases}
e pede os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos máximos e mínimos relativos. Para isso, vamos usar o teste da derivada em cada parte da função e checar pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe).

Passo 2

Calcular a derivada em cada ramo:
Para x<1,
f'(x)=\frac{d}{dx}(2x - x^{2})=2 - 2x.
Para x\ge1,
f'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1.

Passo 3

Analisar o sinal de f'(x):
Para x<1, f'(x)=2-2x>0 sempre que x<1. Logo, a função é crescente em todo o intervalo (-\infty,1).
Para x>1, f'(x)=1>0. Logo, a função é crescente em (1,\infty).
Não há nenhum intervalo onde f'(x)<0, portanto não há decrescimento.

Passo 4

Identificar pontos críticos:
A derivada anula-se em 2-2x=0, ou seja, em x=1, mas esse ponto é exatamente a fronteira entre os dois ramos. Além disso, em x=1 a derivada não está bem definida (há descontinuidade de derivada), mas a função é contínua ali.

Passo 5

Verificar mudança de monotonicidade em x=1:
À esquerda de 1, f' é positivo; à direita de 1, f' também é positivo. Não ocorre inversão de sinal da derivada em x=1, logo não há nem máximo nem mínimo relativo nesse ponto. E não há outros pontos críticos no domínio.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-\infty,1) e (1,\infty)
Intervalos de decrescimento: nenhum
Máximos relativos: nenhum
Mínimos relativos: nenhum

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