Calcule a integral de
sobre o tetraedro de vértices
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde
é o tetraedro de vértices
,
,
e
. O conteúdo aqui é variação de múltiplas integrais em coordenadas cartesianas, e vamos precisar (1) achar a equação do plano que forma a base inclinada de
, (2) projetar
no plano
para determinar os limites em
e
, e (3) integrar sucessivamente em
, depois em
e por fim em
.
Passo 2
Para achar a equação do plano que passa por
,
e
, note que ele pode ser escrito como
e basta usar que em
,
dá
, e em
,
dá
. Logo
e
, isto é,
Passo 3
A projeção de
no plano
é o triângulo cujos vértices são
,
e
. Nesse triângulo,
varia de
a
e, para cada
,
varia de
até o ponto da reta que une
a
, ou seja
. Finalmente, para cada
fixo,
vai de
até a face inclinada
. Assim
Passo 4
Montamos então
Integramos primeiro em
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Simplificando,
Passo 6
Por fim, integramos em
de
a
: