Calcule a integral de f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z sobre o tetraedro de vértices (0,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,0,6).

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{T}\bigl(x^{2}+y^{2}-z\bigr)\,dV
onde T é o tetraedro de vértices (0,0,0), (1,2,0), (0,2,0) e (0,0,6). O conteúdo aqui é variação de múltiplas integrais em coordenadas cartesianas, e vamos precisar (1) achar a equação do plano que forma a base inclinada de T, (2) projetar T no plano xy para determinar os limites em x e y, e (3) integrar sucessivamente em z, depois em x e por fim em y.

Passo 2

Para achar a equação do plano que passa por A=(1,2,0), B=(0,2,0) e C=(0,0,6), note que ele pode ser escrito como
z = D - a\,y
e basta usar que em B, y=2,z=0 0=D-2a, e em C, y=0,z=6 6=D. Logo D=6 e a=3, isto é,
z = 6 - 3y.

Passo 3

A projeção de T no plano xy é o triângulo cujos vértices são (0,0), (1,2) e (0,2). Nesse triângulo, y varia de 0 a 2 e, para cada y, x varia de 0 até o ponto da reta que une (0,0) a (1,2), ou seja x=y/2. Finalmente, para cada (x,y) fixo, z vai de 0 até a face inclinada 6-3y. Assim
0 \le y \le 2,\quad 0 \le x \le \frac y2,\quad 0 \le z \le 6-3y.

Passo 4

Montamos então
\iiint_{T}(x^{2}+y^{2}-z)\,dV = \int_{y=0}^{2} \int_{x=0}^{y/2} \int_{z=0}^{6-3y}\bigl(x^{2}+y^{2}-z\bigr)\,dz\,dx\,dy.
Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{6-3y}(x^{2}+y^{2}-z)\,dz =(x^{2}+y^{2})(6-3y) -\frac{(6-3y)^{2}}{2}.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{y/2}\Bigl[(x^{2}+y^{2})(6-3y)-\tfrac12(6-3y)^{2}\Bigr]dx =(6-3y)\Bigl(\tfrac{y^{3}}{24}+\tfrac{y^{3}}{2}\Bigr) -\frac{(6-3y)^{2}}{2}\cdot\frac{y}{2}.
Simplificando,
(6-3y)\,\frac{13y^{3}}{24} -\frac{y}{4}(6-3y)^{2} =-\frac{13}{8}y^{4}+y^{3}+9y^{2}-9y.

Passo 6

Por fim, integramos em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\Bigl(-\tfrac{13}{8}y^{4}+y^{3}+9y^{2}-9y\Bigr)dy =-\frac{13}{8}\cdot\frac{2^{5}}{5} +\frac{2^{4}}{4} +9\cdot\frac{2^{3}}{3} -9\cdot\frac{2^{2}}{2} =-\frac{52}{5}+4+24-18 =-\frac{2}{5}.

Resposta

-\tfrac{2}{5}

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