3a Questão:
Calcule o fluxo \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}, para \mathbf{F}(x, y, z)=\left(-x,-y, z^{3}\right), e onde S é a parte do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} que está entre os planos z=1 e z=3, com orientação descendente.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do fluxo da campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=(-x,-y,z^3)
através da parte do cone z=\sqrt{x^2+y^2} entre os planos z=1 e z=3, com orientação descendente (isto é, a normal apontando para baixo).
O que vamos usar é a definição de integral de superfície de um campo: se \mathbf{r}(u,v) parâmetriza a superfície, então
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{D}\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot\bigl(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr)\,du\,dv,
invertendo o sinal se for preciso ajustar a orientação.

Passo 2

Parametrizamos o cone em coordenadas cilíndricas: como z=\sqrt{x^2+y^2}, definimos
\mathbf{r}(r,\theta) =\bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\bigr),
onde r varia de 1 a 3 (pois z=r vai de 1 a 3) e \theta vai de 0 a 2\pi.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e o produto vetorial:
\mathbf{r}_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \quad \mathbf{r}_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
Então
\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta =(-r\cos\theta,\;-r\sin\theta,\;r).
Como queremos orientação descendente (normal com componente em z negativa), tomamos
d\mathbf{S} =-\bigl(\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta\bigr)\,dr\,d\theta =(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;-r)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Expressamos \mathbf{F} na parametrização e fazemos o produto escalar:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(r,\theta)) =\bigl(-r\cos\theta,\;-r\sin\theta,\;r^3\bigr).
Logo
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\bigl(-r\cos\theta\bigr)(r\cos\theta) +\bigl(-r\sin\theta\bigr)(r\sin\theta) +\bigl(r^3\bigr)(-r) =-r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)-r^4 =-r^2-r^4.

Passo 5

Integramos sobre \theta\in[0,2\pi] e r\in[1,3]:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{1}^{3}\bigl(-r^2-r^4\bigr)\,dr\,d\theta.
Primeiro em r:
\int_{1}^{3}(-r^2-r^4)\,dr =\Bigl[-\tfrac{r^3}{3}-\tfrac{r^5}{5}\Bigr]_{1}^{3} =-\frac{27}{3}-\frac{243}{5} \;-\;\Bigl(-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Bigr) =-\frac{856}{15}.
Depois em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\bigl(-\tfrac{856}{15}\bigr)\,d\theta =-\frac{856}{15}\,2\pi =-\frac{1712\pi}{15}.

Resposta

\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =-\frac{1712\pi}{15}.

Exercícios relacionados