3a Questão:
Calcule o fluxo
, para
, e onde
é a parte do cone
que está entre os planos
e
, com orientação descendente.
Calcule o fluxo
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do fluxo da campo vetorial
através da parte do cone entre os planos
e
, com orientação descendente (isto é, a normal apontando para baixo).
O que vamos usar é a definição de integral de superfície de um campo: se parâmetriza a superfície, então
através da parte do cone
O que vamos usar é a definição de integral de superfície de um campo: se
invertendo o sinal se for preciso ajustar a orientação.
Passo 2
Parametrizamos o cone em coordenadas cilíndricas: como
, definimos
onde
varia de
a
(pois
vai de
a
) e
vai de
a
.
Passo 3
Calculamos os vetores tangentes e o produto vetorial:
Então
Como queremos orientação descendente (normal com componente em
negativa), tomamos
Passo 4
Expressamos
na parametrização e fazemos o produto escalar:
Logo
Passo 5
Integramos sobre
e
:
Primeiro em
:
Depois em
: