Calcule a área da região limitada pelas retas x=0, x=1, y=2 e pelo gráfico de y=x^{2}.
Calcule a área da região A , onde A é a região compreendida entre o eixo 0 x e o gráfico de y=x^{2}-x, com 0 \leq x \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede duas áreas por integrais definidas.
Conteúdo: área de regiões no plano usando integrais.
Precisamos identificar, em cada caso, os limites de integração, a função que expressa a fronteira superior e a fronteira inferior (ou usar valor absoluto quando a curva ficar abaixo do eixo) e então calcular a integral definida correspondente.

Passo 2

Para a primeira região, as fronteiras são as retas x=0, x=1, a reta y=2 (topo) e o gráfico y=x^2 (fundo). A área A_1 vale
A_1=\int_{0}^{1}\bigl(2 - x^2\bigr)\,dx.

Passo 3

Calculando \displaystyle A_1:
A_1=\int_{0}^{1}2\,dx \;-\;\int_{0}^{1}x^2\,dx =\Bigl[2x\Bigr]_{0}^{1}-\Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =2-\tfrac{1}{3} =\tfrac{5}{3}.

Passo 4

Para a segunda região A, o gráfico é y=x^2 - x e o eixo 0x. Entre x=0 e x=2 a função muda de sinal em x=1. Logo a área total é
A=\int_{0}^{2}\bigl|\,x^2-x\bigr|\,dx =\int_{0}^{1}(x - x^2)\,dx +\int_{1}^{2}(x^2 - x)\,dx.

Passo 5

Calculando cada parte:
\int_{0}^{1}(x - x^2)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12-\tfrac13=\tfrac16,
\int_{1}^{2}(x^2 - x)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^3}{3}-\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{1}^{2} =\bigl(\tfrac{8}{3}-2\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac12\bigr) =\tfrac{2}{3}-\bigl(-\tfrac{1}{6}\bigr) =\tfrac{5}{6}.
Somando, A=\tfrac{1}{6}+\tfrac{5}{6}=1.

Resposta

A área da primeira região é \tfrac{5}{3} e a área da região A é 1.

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