Questão: Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n^{2}}.
O conteúdo principal aqui é análise de séries numéricas de termos positivos e, em particular, o teste da raiz.

Passo 2

Como todos os termos \displaystyle a_{n}=\bigl(\tfrac{n}{n+1}\bigr)^{n^{2}}
são positivos, aplicamos o teste da raiz. Ele afirma que, se
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}},
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 3

Calculamos a raiz enésima de a_{n}:
\sqrt[n]{a_{n}} =\sqrt[n]{\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n^{2}}} =\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n}.

Passo 4

Agora usamos o limite clássico
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{n}{n+1}\Bigr)^{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac{1}{1+1/n}\Bigr)^{n} =e^{-1}.

Passo 5

Como e^{-1}<1, o teste da raiz garante que a série convergente absolutamente, portanto a série dada converge.

Resposta

A série converge (teste da raiz com razão-limite e^{-1}<1).

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