Utilizando integração por partes, calcule
\int \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva de \ln x, ou seja,
\int \ln x \, dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que nos permite transformar uma integral de um produto em outra mais simples.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Nela, escolhemos uma parte da integral para ser u (de onde tiramos du) e outra parte para ser dv (de onde tiramos v).

Passo 3

Para \int \ln x\,dx a escolha mais comum é:
u = \ln x, \quad dv = dx.
Assim,
du = \frac{1}{x}\,dx \quad\text{e}\quad v = \int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
\int \ln x\,dx = u\,v - \int v\,du = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx.

Passo 5

A integral de 1 em relação a x é simplesmente x. Logo,
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C.

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