4a Questão: Usando o teorema da divergência, calcule o fluxo \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}, onde
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{4} \mathbf{i}-x^{3} z^{2} \mathbf{j}+4 x y^{2} z \mathbf{k},
e onde S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1 e pelos planos z=x+2 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
onde \mathbf{F}(x,y,z)=x^{4}\mathbf{i}-x^{3}z^{2}\mathbf{j}+4xyz^{2}\mathbf{k} (observe que o termo em \mathbf{k} é 4xy^{2}z) e S é a superfície fechada do sólido limitado por x^{2}+y^{2}=1, z=0 e z=x+2. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{4}) +\frac{\partial}{\partial y}(-x^{3}z^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(4xy^{2}z) =4x^{3}+0+4xy^{2} =4x\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).

Passo 3

Para integrar \nabla\cdot\mathbf{F} no volume V, mudamos para coordenadas cilíndricas: \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;dV=r\,dr\,d\theta\,dz,
e
\nabla\cdot\mathbf{F}=4\,r\cos\theta\,(r^{2}) =4r^{3}\cos\theta.
Os limites são 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi e 0\le z\le x+2=r\cos\theta+2.

Passo 4

Escrevemos o integral triplo:
\iiint_{V}4r^{3}\cos\theta\;r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{r\cos\theta+2}4r^{4}\cos\theta\;dz\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em z: multiplicamos por \bigl(r\cos\theta+2\bigr).

Passo 5

O integral vira
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}4r^{4}\cos\theta\,(r\cos\theta+2)\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\bigl(4r^{5}\cos^{2}\theta+8r^{4}\cos\theta\bigr)\,dr\,d\theta.
Separamos em dois termos:
  1. \displaystyle 4\int_{0}^{1}r^{5}dr\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta =4\cdot\frac{1}{6}\cdot\pi =\frac{2\pi}{3}. 2. \displaystyle 8\int_{0}^{1}r^{4}dr\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta =8\cdot\frac{1}{5}\cdot0 =0. Somando dá \tfrac{2\pi}{3}.

Resposta

\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\frac{2\pi}{3}.

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