4a Questão: Usando o teorema da divergência, calcule o fluxo
, onde
e onde
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo
onde
(observe que o termo em
é
) e
é a superfície fechada do sólido limitado por
,
e
. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Passo 3
Para integrar
no volume
, mudamos para coordenadas cilíndricas:
,
e
e
Os limites são
,
e
.
Passo 4
Escrevemos o integral triplo:
Integramos primeiro em
: multiplicamos por
.
Passo 5
O integral vira
Separamos em dois termos:
-
2. Somando dá .