3a Questão: Considere a função f dada por f(x)=\frac{1}{(1-9 x)^{3}}.
a) ( 1,5 \mathrm{pt} ) Encontre a série de Taylor de f em torno do ponto x_{0}=0.
b) (1,5 pt) Determine o intervalo de convergência da série encontrada no item anterior. Não esqueça de determinar a convergência ou divergência nos extremos do intervalo encontrado.

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de
f(x)=\frac{1}{(1-9x)^{3}}
em torno de x_{0}=0 e, em seguida, o intervalo de convergência dessa série, incluindo o comportamento nos extremos. Para isso usaremos a série binomial generalizada, que nos dá a expansão de (1-u)^{-3} em potências de u.

Passo 2

Definimos u=9x. Assim
f(x)=(1-9x)^{-3}=(1-u)^{-3}.
A série binomial generalizada afirma que, para \lvert u\rvert<1,
(1-u)^{-3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+2}{2}\,u^{n},
onde \displaystyle \binom{n+2}{2}=\frac{(n+2)(n+1)}{2}.

Passo 3

Substituindo u=9x na expansão acima, obtemos
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+2}{2}\,(9x)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)(n+1)}{2}\,9^{n}\,x^{n}.
Essa é a série de Taylor de f em torno de 0.

Passo 4

A condição de convergência da série binomial é \lvert u\rvert<1, ou seja
\lvert 9x\rvert<1 \quad\Longrightarrow\quad \lvert x\rvert<\frac{1}{9}.
Portanto o raio de convergência é R=\tfrac{1}{9} e a série converge para x\in(-\tfrac{1}{9},\tfrac{1}{9}).

Passo 5

Nos extremos x=\pm\tfrac{1}{9} os termos gerais ficam
a_{n}=\binom{n+2}{2}\,9^{n}\Bigl(\pm\frac{1}{9}\Bigr)^{n} =\binom{n+2}{2}\,(\pm1)^{n}.
Como \binom{n+2}{2}\sim\tfrac{n^{2}}{2} não tende a zero, a série diverge tanto em x=\tfrac{1}{9} quanto em x=-\tfrac{1}{9}.

Resposta

A série de Taylor em torno de 0 é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+2)(n+1)}{2}\,9^{n}\,x^{n},
e o intervalo de convergência é
-\,\frac{1}{9}<x<\frac{1}{9},
sem convergência nos extremos.

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