3a Questão: Considere a função
dada por
.
a) (
) Encontre a série de Taylor de
em torno do ponto
.
b) (1,5 pt) Determine o intervalo de convergência da série encontrada no item anterior. Não esqueça de determinar a convergência ou divergência nos extremos do intervalo encontrado.
a) (
b) (1,5 pt) Determine o intervalo de convergência da série encontrada no item anterior. Não esqueça de determinar a convergência ou divergência nos extremos do intervalo encontrado.
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de
em torno de
e, em seguida, o intervalo de convergência dessa série, incluindo o comportamento nos extremos. Para isso usaremos a série binomial generalizada, que nos dá a expansão de
em potências de
.
Passo 2
Definimos
. Assim
A série binomial generalizada afirma que, para
,
onde
.
Passo 3
Substituindo
na expansão acima, obtemos
Essa é a série de Taylor de
em torno de
.
Passo 4
A condição de convergência da série binomial é
, ou seja
Portanto o raio de convergência é
e a série converge para
.
Passo 5
Nos extremos
os termos gerais ficam
Como
não tende a zero, a série diverge tanto em
quanto em
.
Resposta
A série de Taylor em torno de
é
e o intervalo de convergência é
sem convergência nos extremos.