Em cada caso, encontre o valor do limite ou mostre que o limite nāo existe:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{3 x^{4}+2 x^{3}-x+8}{x^{5}+8 x^{3}+x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado nos pede o cálculo de
\lim_{x\to+\infty} \frac{3x^{4}+2x^{3}-x+8}{x^{5}+8x^{3}+x^{2}-9}.
Este é um limite de função racional no infinito. Para resolver, vamos usar o conceito de termos dominantes dividindo numerador e denominador pela maior potência de x.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{5}, que é a maior potência de x na expressão:
\frac{3x^{4}+2x^{3}-x+8}{x^{5}+8x^{3}+x^{2}-9} = \frac{\frac{3x^{4}}{x^{5}} + \frac{2x^{3}}{x^{5}} - \frac{x}{x^{5}} + \frac{8}{x^{5}}} {\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{8x^{3}}{x^{5}} + \frac{x^{2}}{x^{5}} - \frac{9}{x^{5}}} = \frac{\tfrac{3}{x} + \tfrac{2}{x^{2}} - \tfrac{1}{x^{4}} + \tfrac{8}{x^{5}}} {1 + \tfrac{8}{x^{2}} + \tfrac{1}{x^{3}} - \tfrac{9}{x^{5}}}.

Passo 3

Ao fazermos x\to+\infty, todos os termos que têm x no denominador tendem a zero. Assim, o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1. Portanto,
\lim_{x\to+\infty} \frac{3x^{4}+2x^{3}-x+8}{x^{5}+8x^{3}+x^{2}-9} = \frac{0}{1} = 0.

Resposta

0

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