Terceira Questão ( 3,0 pts): Em cada item, encontre a série de MacLaurin da função dada. sua resposta deve ser dada na forma de uma única série de potências.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 x-4)^{n}}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3x-4)^{n}}{n^{3}}
e pede a sua série de Maclaurin, isto é, escrever f(x) como
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\,x^{k}.
Para isso, vamos usar o desenvolvimento binomial de (3x-4)^{n} e depois trocar a ordem de somação.

Passo 2

Aplicamos o binômio de Newton a (3x-4)^{n}:
(3x-4)^{n} =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(3x)^{k}(-4)^{\,n-k}.

Passo 3

Substituímos esse desenvolvimento na definição de f(x):
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(3x)^{k}(-4)^{\,n-k}.

Passo 4

Agora trocamos a ordem das somas. O índice k vai de 0 a \infty e, para cada k, o índice n vai de k a \infty:
f(x) =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=k}^{\infty}\frac{\binom{n}{k}\,3^{k}\,(-4)^{\,n-k}}{n^{3}}\;x^{k}.

Passo 5

Comparando com a forma de Maclaurin \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}, identificamos
a_{k} =3^{k}\sum_{n=k}^{\infty}\frac{\binom{n}{k}(-4)^{\,n-k}}{n^{3}}.

Resposta

\boxed{f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\Biggl(3^{k}\sum_{n=k}^{\infty}\frac{\binom{n}{k}(-4)^{\,n-k}}{n^{3}}\Biggr)\;x^{k}.}

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