3a Questão: O cubo 0<x<L, \quad 0<y<L, \quad 0<z<L está submerso num fluido estático cuja distribuição de pressões é dada por p=p_{0}+\alpha(3 x+2 y-z). Calcule a força exercida pelo fluido sobre o paralelepípedo através do subconjunto da face z=L onde y<2 x. São dados p_{0}, \alpha e L.

Solução:

Note que z=L e que \mathbf{n}=\mathbf{k} na referida superfície. Além disso, temos que
\left.\begin{array}{l} 0<y<L \\\\ 0<x<L \\\ y<2 x \Rightarrow x>\frac{y}{2} \end{array}\right\} \rightarrow \frac{y}{2}<x<L, \quad 0<y<L
Desta forma, ficamos com
\mathbf{F}_{S U P}=\int_{S U P}-p \mathbf{n} d A=\int_{0}^{L} \int_{y / 2}^{L}-\left(p_{0}+\alpha(3 x+2 y-L)\right) \mathbf{k} d x d y

Passo 1

O enunciado descreve um cubo de aresta L imerso num fluido estático com distribuição de pressão
p = p_{0} + \alpha\,(3x + 2y - z).
Pede-se a força resultante que o fluido exerce sobre a parte da face z=L onde y<2x. Para isso, vamos usar o conceito de força de pressão sobre uma superfície Imersa,
\mathbf{F} = \iint_{S} (-p\,\mathbf{n})\,dA.

Passo 2

Na face z=L o versor unitário externo é \mathbf{n} = \mathbf{k}.
A projeção dessa parte da face no plano xy é o conjunto
0<y<L,\quad 0<x<L,\quad y<2x\;\Longrightarrow\;x>\tfrac{y}{2}.
Logo, as variáveis variam como
0\le y\le L,\quad \tfrac{y}{2}\le x\le L.

Passo 3

Montamos a integral de superfície sobre o domínio em xy:
\mathbf{F} = \int_{0}^{L}\!\int_{y/2}^{L} \bigl[-\bigl(p_{0}+\alpha(3x+2y-L)\bigr)\bigr]\mathbf{k}\;dx\,dy.

Passo 4

Primeiro integramos em x:
\int_{y/2}^{L}\bigl(p_{0}+\alpha(3x+2y-L)\bigr)\,dx = p_{0}\Bigl(L-\tfrac{y}{2}\Bigr) + \alpha\Bigl[\tfrac{3}{2}\bigl(L^{2}-\tfrac{y^{2}}{4}\bigr) +(2y-L)\bigl(L-\tfrac{y}{2}\bigr)\Bigr].
Simplificando o colchete em \alpha obtemos
p_{0}\Bigl(L-\tfrac{y}{2}\Bigr) + \alpha\Bigl(\tfrac{1}{2}L^{2}+\tfrac{5}{2}yL-\tfrac{11}{8}y^{2}\Bigr).

Passo 5

Agora integramos em y de 0 a L:
\int_{0}^{L}\Bigl[p_{0}\bigl(L-\tfrac{y}{2}\bigr) +\alpha\bigl(\tfrac{1}{2}L^{2}+\tfrac{5}{2}yL-\tfrac{11}{8}y^{2}\bigr)\Bigr]dy = \tfrac{3}{4}p_{0}L^{2} + \tfrac{31}{24}\alpha\,L^{3}.

Passo 6

Voltando ao vetor força, lembrando o sinal “menos” da pressão, concluímos
\mathbf{F} = -\Bigl(\tfrac{3}{4}p_{0}L^{2} + \tfrac{31}{24}\alpha\,L^{3}\Bigr)\mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{F} = -\Bigl(\frac{3}{4}\,p_{0}\,L^{2} \;+\;\frac{31}{24}\,\alpha\,L^{3}\Bigr)\,\mathbf{k}.

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