\underline{4^{\mathrm{a}}} Questão: Num líquido com densidade constante \rho a distribuição de pressões é dada por p=\beta(3 x+5 y-4 z+8). Calcule a constante positiva \beta. São dados g e \rho.
O enunciado dá a distribuição de pressão num líquido de densidade constante \rho por
p=\beta\,(3x+5y-4z+8)
e pede para encontrar a constante positiva \beta, sabendo-se que g e \rho são dados. O conteúdo aqui é hidrostática: em equilíbrio, a pressão no fluido deve satisfazer \nabla p=\rho\,\mathbf{g}.
Passo 2
A condição de equilíbrio em um fluido estacionário é
\nabla p \;=\;\rho\,\mathbf{g}\,,
onde \mathbf{g} é o vetor aceleração da gravidade (módulo g).
Passo 3
Calculamos o gradiente de p. Como
p(x,y,z)=\beta\,(3x+5y-4z+8),
temos
\nabla p =\beta\;\nabla(3x+5y-4z+8) =\beta\,(3\,\mathbf{i}+5\,\mathbf{j}-4\,\mathbf{k})\,.
Passo 4
Igualando ao lado direito da condição de equilíbrio, vem