\underline{4^{\mathrm{a}}} Questão: Num líquido com densidade constante \rho a distribuição de pressões é dada por p=\beta(3 x+5 y-4 z+8). Calcule a constante positiva \beta. São dados g e \rho.

Solução:

\nabla p=\rho \mathbf{g} \Rightarrow \nabla(\beta(3 x+5 y-4 z+8))=\rho \mathbf{g} \Rightarrow \beta(3 \mathbf{i}+5 \mathbf{j}-4 \mathbf{k})=\rho \mathbf{g}
Tomando o módulo nos dois lados, ficamos com
\|\beta(3 \mathbf{i}+5 \mathbf{j}-4 \mathbf{k})\|=\|\rho \mathbf{g}\| \Rightarrow \beta \sqrt{9+25+16}=\rho g \Rightarrow \beta=\frac{\rho g}{\sqrt{50}}

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de pressão num líquido de densidade constante \rho por
p=\beta\,(3x+5y-4z+8)
e pede para encontrar a constante positiva \beta, sabendo-se que g e \rho são dados. O conteúdo aqui é hidrostática: em equilíbrio, a pressão no fluido deve satisfazer \nabla p=\rho\,\mathbf{g}.

Passo 2

A condição de equilíbrio em um fluido estacionário é
\nabla p \;=\;\rho\,\mathbf{g}\,,
onde \mathbf{g} é o vetor aceleração da gravidade (módulo g).

Passo 3

Calculamos o gradiente de p. Como
p(x,y,z)=\beta\,(3x+5y-4z+8),
temos
\nabla p =\beta\;\nabla(3x+5y-4z+8) =\beta\,(3\,\mathbf{i}+5\,\mathbf{j}-4\,\mathbf{k})\,.

Passo 4

Igualando ao lado direito da condição de equilíbrio, vem
\beta\,(3\,\mathbf{i}+5\,\mathbf{j}-4\,\mathbf{k}) =\rho\,\mathbf{g}\,.
Os dois vetores são paralelos, então basta igualar seus módulos para achar \beta.

Passo 5

Tomando o módulo em ambos os lados:
\beta\,\big\|3\,\mathbf{i}+5\,\mathbf{j}-4\,\mathbf{k}\big\| =\rho\,\|\mathbf{g}\| \quad\Longrightarrow\quad \beta\,\sqrt{3^2+5^2+(-4)^2} =\rho\,g\,.

Passo 6

Como \sqrt{3^2+5^2+(-4)^2}=\sqrt{9+25+16}=\sqrt{50}, temos
\beta=\frac{\rho\,g}{\sqrt{50}}\,.

Resposta

\boxed{\beta=\frac{\rho\,g}{\sqrt{50}}}

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