3a Questão: O paralelepípedo -L<x<L, \quad-L<y<0, \quad 0<z<L está submerso num fluido estático cuja distribuição de pressões é dada por p=p_{0}+\alpha(x+y). Calcule a força exercida pelo fluido sobre o paralelepípedo através do subconjunto da face y=0 onde x^{2}+z^{2}<L^{2}. São dados p_{0}, \alpha e L.

Passo 1

O enunciado dá um paralelepípedo definido por
-\,L < x < L,\quad -\,L < y < 0,\quad 0 < z < L
imerso num fluido estático cuja pressão é
p = p_{0} + \alpha\,(x + y).
Pede–se a força exercida pelo fluido sobre a face y=0, mas apenas na parte onde
x^{2} + z^{2} < L^{2}.
Para isso vamos usar o integral de superfície de pressão sobre essa região, sabendo que a força sobre o corpo é
\mathbf{F} = -\iint_{S} p\,\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário apontando para fora do corpo.

Passo 2

Na face y=0 interna ao corpo, o vetor normal unitário para fora vale \mathbf{n} = +\mathbf{j}. Nessa face a pressão é
p(x,z) = p_{0} + \alpha\,(x + 0) = p_{0} + \alpha\,x.
Logo a força resultante sobre essa parte da face é
\mathbf{F} = -\mathbf{j}\,\iint_{D} \bigl(p_{0} + \alpha\,x\bigr)\,dS,
onde
D = \bigl\{(x,z)\mid x^{2}+z^{2}<L^{2}\bigr\}.

Passo 3

Parametrizamos D em coordenadas cartesianas (x,z). O elemento de área é dS = dx\,dz. Assim
\iint_{D} \bigl(p_{0} + \alpha\,x\bigr)\,dS = \iint_{D} p_{0}\,dx\,dz \;+\;\alpha\iint_{D} x\,dx\,dz.

Passo 4

O primeiro integral é
\iint_{D} p_{0}\,dx\,dz = p_{0}\,\Area(D) = p_{0}\,\pi L^{2}.
O segundo integral anula-se por simetria de D em x:
\iint_{D} x\,dx\,dz = 0.
Portanto
\iint_{D} \bigl(p_{0} + \alpha\,x\bigr)\,dS = p_{0}\,\pi L^{2}.

Passo 5

Substituindo em \mathbf{F} = -\mathbf{j}\,\iint_{D}(p_{0}+\alpha\,x)\,dS, obtemos
\mathbf{F} = -\mathbf{j}\,\bigl(p_{0}\,\pi L^{2}\bigr) = -\pi p_{0}L^{2}\,\mathbf{j}.

Resposta

\mathbf{F} = -\pi\,p_{0}\,L^{2}\,\mathbf{j}.

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