1 { }^{\text {a }} Questão: Uma esfera flutua estaticamente com 50 \% do seu volume submerso num líquido estático (contido num balde rígido). Líquido e esfera são aquecidos. Ao final do aquecimento o volume da esfera aumentou em 30 \% enquanto o volume do líquido aumentou em 10 \%. Qual o volume submerso da esfera, após o final do aquecimento, supondo que foi atingido o equilíbrio estático?

Solução:

Como estamos num contexto de flutuação estática, a massa da esfera é igual à massa do fluido por ela deslocado (vamos desprezar o gás e considerar que só o líquido importa). Eu quero calcular
\frac{V_{\text {SUB-final }}}{V_{E-\text { final }}}
Sabendo que
\frac{V_{\text {SUB-inicial }}}{V_{\text {E-inicial }}}=0,5
Assim,
M_{E}=M_{F D}
A massa de fluido deslocado é igual ao produto da densidade do fluido pelo volume submerso da esfera. Assim sendo, podemos escrever
\rho_{F-\text { final }} V_{\text {SUB-final }}=\rho_{F-\text { inicial }} V_{\text {SUB-inicial }}=M_{E}= constante \Rightarrow \frac{V_{\text {SUB-final }}}{V_{\text {SUB-inicial }}}=\frac{\rho_{F-\text { inicial }}}{\rho_{F-\text { final }}}
Como o volume de líquido aumentou em 10 \%, sua densidade diminuiu. Em outras palavras,
\begin{aligned} & M_{F L U I D O}=\rho_{F-\text { final }} V_{F-\text { final }}=\rho_{F-\text { inicial }} V_{F-\text { inicial }} \Rightarrow \rho_{F-\text { final }}(1,1) V_{F-\text { inicial }}=\rho_{F-\text { inicial }} V_{F-\text { inicial }} \Rightarrow \\\ & \Rightarrow \quad \frac{\rho_{F-\text { final }}}{\rho_{F-\text { inicial }}}=\frac{1}{1,1} \end{aligned}
Da mesma forma, como o volume da esfera aumentou em 30 \%, teremos que
V_{E-\text { final }}=(1,3) V_{E-\text { inicial }} \Rightarrow \frac{\rho_{E-\text { final }}}{\rho_{E-\text { inicial }}}=\frac{1}{1,3}
Archimedes
\begin{gathered} \rho_{F-\text { final }} V_{S U B-\text { final }}=\rho_{E-\text { final }} V_{E-\text { final }}=M_{E} \\\ \rho_{F-\text { inicial }} V_{S U B-\text { inicial }}=\rho_{E-\text { inicial }} V_{E-\text { inicial }}=M_{E} \\\ \frac{\rho_{F-\text { final }}}{\rho_{F-\text { inicial }}} \frac{V_{S U B-\text { final }}}{V_{S U B-\text { inicial }}}=\frac{\rho_{E-\text { final }}}{\rho_{E-\text { inicial }}} \frac{V_{E-\text { final }}}{V_{E-\text { inicial }}}=1 \Rightarrow \frac{\rho_{F-\text { final }}}{\rho_{F-\text { inicial }}} \frac{V_{S U B-\text { final }}}{V_{E-\text { final }}}=\frac{\rho_{E-\text { final }}}{\rho_{E-\text { inicial }}} \frac{V_{\text {SUB-inicial }}}{V_{E-\text { inicial }}} \Rightarrow \\\ \Rightarrow\left(\frac{1}{1,1}\right) \frac{V_{\text {SUB-final }}}{V_{E-\text { final }}}=\left(\frac{1}{1,3}\right)(0,5) \Rightarrow \frac{V_{\text {SUB-final }}}{V_{E-\text { final }}}=\left(\frac{1,1}{1,3}\right)(0,5) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado trata de flutuação estática segundo o princípio de Arquimedes: inicialmente uma esfera flutua com metade do seu volume submerso em um líquido. Ambos—esfera e líquido—sofrendo expansão térmica, os volumes finais mudam e queremos encontrar a nova fração do volume da esfera que fica submersa em equilíbrio estático.

Passo 2

Escrevendo o equilíbrio inicial de Arquimedes: \rho_{f,i}\,V_{\text{sub},i}=\rho_{e,i}\,V_{e,i}.
Como \tfrac{V_{\text{sub},i}}{V_{e,i}}=0,5, segue
\frac{\rho_{e,i}}{\rho_{f,i}} =\frac{V_{\text{sub},i}}{V_{e,i}} =0,5.

Passo 3

Após aquecimento, os volumes mudam:
– Esfera: V_{e,f}=1,3\,V_{e,i}, logo
\rho_{e,f} =\frac{M}{V_{e,f}} =\frac{\rho_{e,i}\,V_{e,i}}{1,3\,V_{e,i}} =\frac{\rho_{e,i}}{1,3}.
– Líquido: seu volume total cresce 10 %, então
\rho_{f,f} =\rho_{f,i}\,\frac{V_{f,i}}{V_{f,f}} =\rho_{f,i}\,\frac{1}{1,1} =\frac{\rho_{f,i}}{1,1}.

Passo 4

Equilíbrio final de Arquimedes dá \rho_{f,f}\,V_{\text{sub},f}=\rho_{e,f}\,V_{e,f},
ou seja
\frac{V_{\text{sub},f}}{V_{e,f}} =\frac{\rho_{e,f}}{\rho_{f,f}} =\frac{\displaystyle\frac{\rho_{e,i}}{1,3}} {\displaystyle\frac{\rho_{f,i}}{1,1}} =\frac{\rho_{e,i}}{\rho_{f,i}}\;\frac{1,1}{1,3} =0,5\;\frac{1,1}{1,3}.

Resposta

\frac{V_{\text{sub},f}}{V_{e,f}} =0,5\times\frac{1,1}{1,3} \approx0,423 \quad\text{(ou cerca de }42{,}3\%\text{).}

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