Nos itens abaixo, encontre para a curva dada,
e
em
.
;
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede para encontrar os vetores unitários tangente
e normal
avaliados em
.
Informações relevantes fornecidas:
,
e o ponto de interesse é
.
O que se pede: calcular e
.
O que se pede: calcular
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular a derivada do vetor posição (velocidade)
. Chamando o vetor posição de
, temos que derivar componente a componente.
Derivadas:
Portanto
Avaliação em
:
Explicação didática:
é o vetor tangente não-normalizado que aponta na direção da trajetória; suas componentes são as derivadas das coordenadas.
Passo 3
Agora precisamos da velocidade (norma de
), porque o vetor tangente unitário
é
dividido por sua norma.
Calcule a norma geral:
Desenvolvendo:
Logo
pois
para todo
.
Avaliação em
:
Didática: simplificamos a expressão algébrica; perceber que o radicando virou um quadrado facilita muito — isso é comum em exercícios bons para prova.
Passo 4
Definição do vetor tangente unitário:
Substituindo as expressões:
ou componente a componente
Avaliação em
:
Interpretação:
é um vetor unitário apontando na direção instantânea da curva quando
. Repare que
normalizado dá exatamente
.
Passo 5
Agora vamos ao vetor normal unitário
. Definição prática que usaremos:
ou seja, derivamos o vetor tangente unitário e normalizamos.
Precisamos calcular
. Tome as componentes de
:
Derivando
por regra do quociente (ou seja
):
com e
, temos
e
. Assim
com
Derivando
(novamente regra do quociente), com
(
) e
(
):
Logo
É útil fatorar
:
Avaliação em
:
pois
.
Passo 6
Calcule a norma de
para normalizar:
Agora normalizamos:
Dividir por
equivale a multiplicar por
, então
Verificação rápida (didática):
, ou seja, são ortogonais como devem ser.