Nos itens abaixo, encontre para a curva dada, T(t) e N(t) em t=t_{1}.
x=\frac{1}{3} t^{3}-t, \quad y=t^{2}; t_{1}=2

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=\frac{1}{3}t^{3}-t,\qquad y=t^{2},
e pede para encontrar os vetores unitários tangente \;T(t)\; e normal \;N(t)\; avaliados em \;t_{1}=2\;.
Informações relevantes fornecidas:
\;x(t)=\frac{1}{3}t^{3}-t\;, \;y(t)=t^{2}\; e o ponto de interesse é \;t=2\;.
O que se pede: calcular \;T(2)\; e \;N(2)\;.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a derivada do vetor posição (velocidade) \;r'(t)\;. Chamando o vetor posição de \;r(t)=\langle x(t),y(t)\rangle\;, temos que derivar componente a componente.
Derivadas:
x'(t)=\frac{d}{dt}\Big(\frac{1}{3}t^{3}-t\Big)=t^{2}-1,
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(t^{2}\big)=2t.
Portanto
r'(t)=\langle t^{2}-1,\;2t\rangle.
Avaliação em \;t=2\;:
r'(2)=\langle 2^{2}-1,\;2\cdot 2\rangle=\langle 3,\;4\rangle.
Explicação didática: \;r'(t)\; é o vetor tangente não-normalizado que aponta na direção da trajetória; suas componentes são as derivadas das coordenadas.

Passo 3

Agora precisamos da velocidade (norma de \;r'(t)\;), porque o vetor tangente unitário \;T(t)\; é \;r'(t) dividido por sua norma.
Calcule a norma geral:
\|r'(t)\|=\sqrt{(t^{2}-1)^{2}+(2t)^{2}}.
Desenvolvendo:
(t^{2}-1)^{2}+4t^{2}=t^{4}-2t^{2}+1+4t^{2}=t^{4}+2t^{2}+1=(t^{2}+1)^{2}.
Logo
\|r'(t)\|=\sqrt{(t^{2}+1)^{2}}=t^{2}+1,
pois \;t^{2}+1>0\; para todo t.
Avaliação em \;t=2\;:
\|r'(2)\|=2^{2}+1=5.
Didática: simplificamos a expressão algébrica; perceber que o radicando virou um quadrado facilita muito — isso é comum em exercícios bons para prova.

Passo 4

Definição do vetor tangente unitário:
T(t)=\frac{r'(t)}{\|r'(t)\|}.
Substituindo as expressões:
T(t)=\frac{1}{t^{2}+1}\,\langle t^{2}-1,\;2t\rangle,
ou componente a componente
T(t)=\Big\langle\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1},\;\frac{2t}{t^{2}+1}\Big\rangle.
Avaliação em \;t=2\;:
T(2)=\Big\langle\frac{3}{5},\;\frac{4}{5}\Big\rangle.
Interpretação: \;T(2)\; é um vetor unitário apontando na direção instantânea da curva quando t=2. Repare que \langle 3,4\rangle normalizado dá exatamente \langle 3/5,4/5\rangle.

Passo 5

Agora vamos ao vetor normal unitário \;N(t)\;. Definição prática que usaremos:
N(t)=\frac{T'(t)}{\|T'(t)\|},
ou seja, derivamos o vetor tangente unitário e normalizamos.
Precisamos calcular T'(t). Tome as componentes de T(t):
T_x(t)=\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1},\qquad T_y(t)=\frac{2t}{t^{2}+1}.
Derivando T_x(t) por regra do quociente (ou seja (u/v)'=(u'v-uv')/v^{2}):
com u=t^{2}-1 e v=t^{2}+1, temos u'=2t e v'=2t. Assim
T_x'(t)=\frac{2t(t^{2}+1)-(t^{2}-1)2t}{(t^{2}+1)^{2}}=\frac{4t}{(t^{2}+1)^{2}}.
Derivando T_y(t) (novamente regra do quociente), com a=2t ( a'=2) e b=t^{2}+1 ( b'=2t):
T_y'(t)=\frac{2(t^{2}+1)-2t\cdot 2t}{(t^{2}+1)^{2}}=\frac{2-2t^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}=\frac{2(1-t^{2})}{(t^{2}+1)^{2}}.
Logo
T'(t)=\Big\langle\frac{4t}{(t^{2}+1)^{2}},\;\frac{2(1-t^{2})}{(t^{2}+1)^{2}}\Big\rangle.
É útil fatorar \dfrac{2}{(t^{2}+1)^{2}}:
T'(t)=\frac{2}{(t^{2}+1)^{2}}\Big\langle 2t,\;1-t^{2}\Big\rangle.
Avaliação em \;t=2\;:
T'(2)=\Big\langle\frac{8}{25},\;-\frac{6}{25}\Big\rangle,
pois (t^{2}+1)^{2}=(4+1)^{2}=25.

Passo 6

Calcule a norma de T'(2) para normalizar:
\|T'(2)\|=\sqrt{\Big(\frac{8}{25}\Big)^{2}+\Big(-\frac{6}{25}\Big)^{2}} =\frac{1}{25}\sqrt{64+36}=\frac{1}{25}\sqrt{100}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}.
Agora normalizamos:
N(2)=\frac{T'(2)}{\|T'(2)\|}=\frac{\langle 8/25,\,-6/25\rangle}{2/5}.
Dividir por 2/5 equivale a multiplicar por 5/2, então
N(2)=\Big\langle\frac{8}{25}\cdot\frac{5}{2},\;-\frac{6}{25}\cdot\frac{5}{2}\Big\rangle =\Big\langle\frac{4}{5},\;-\frac{3}{5}\Big\rangle.
Verificação rápida (didática): \;T(2)\cdot N(2)=\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}+\frac{4}{5}\cdot\big(-\frac{3}{5}\big)=0\;, ou seja, são ortogonais como devem ser.

Resposta

T(2)=\displaystyle\Big\langle\frac{3}{5},\;\frac{4}{5}\Big\rangle
N(2)=\displaystyle\Big\langle\frac{4}{5},\;-\frac{3}{5}\Big\rangle

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