5 { }^{\underline{a}} Questão: Suponha k>0 e p \in \mathbb{R}. A função real definida por f(x)=k \sin \left(p x+\frac{\pi}{4}\right)+2, tem meríodo 4 \pi e imagem [1,3]. Encontre k e p.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=k\sin\Bigl(p x+\tfrac{\pi}{4}\Bigr)+2,
com k>0 e p\in\mathbb{R}, e pede k e p sabendo que o período de f é 4\pi e a imagem é [1,3].
Para resolver, vamos usar:
– Período de \sin(p x+\cdots) é \tfrac{2\pi}{|p|}.
– Imagem de k\sin(\cdot)+2 é [2-k,\,2+k].

Passo 2

Da condição de imagem [2-k,\,2+k]=[1,3] temos
2-k=1\quad\text{e}\quad 2+k=3.
Ambas dão k=1, que satisfaz k>0.

Passo 3

Da condição de período
\frac{2\pi}{|p|}=4\pi
segue
|p|=\tfrac12
ou seja
p=\pm\tfrac12.

Resposta

k=1 e p=\pm\tfrac12.

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