A função L(x)=a \cdot 2^{b x} fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma lâmpada.
a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que un objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 100 luxes e que un objeto a 2 metros de distância recebe 50 luxes.
b) Considerando que um objeto recebe 2^{-5} \cdot 10^{2} (i.e, 3,125 ) luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.

Passo 1

O enunciado dá a função
L(x)=a\cdot2^{b x}
que mede a iluminação em lux a x metros da lâmpada. Sabe-se que
L(1)=100 \quad\text{e}\quad L(2)=50.
O conteúdo aqui é função exponencial com base 2. Para (a) precisamos determinar a e b resolvendo o sistema acima. Em (b), com a e b já encontrados, resolveremos
L(x)=2^{-5}\cdot10^{2}.

Passo 2

Das duas condições temos
\begin{cases} a\cdot2^{b\cdot1}=100,\\\ a\cdot2^{b\cdot2}=50. \end{cases}
Dividindo a segunda equação pela primeira cancelamos a:
\frac{a\cdot2^{2b}}{a\cdot2^{b}} =2^{b} =\frac{50}{100} =0,5.
Logo
2^{b}=0,5 \quad\Longrightarrow\quad b=\log_{2}(0,5)=-1.

Passo 3

Substituindo b=-1 em a\cdot2^{b}=100:
a\cdot2^{-1}=100 \quad\Longrightarrow\quad a=\;100\cdot2=200.
Portanto a função fica
L(x)=200\cdot2^{-x}.

Passo 4

Para (b) impondo
L(x)=200\cdot2^{-x}=2^{-5}\cdot10^{2},
note que 2^{-5}\cdot10^{2}=100/32=3{,}125. Assim
2^{-x}=\frac{3{,}125}{200}=0{,}015625=2^{-6} \quad\Longrightarrow\quad -x=-6 \quad\Longrightarrow\quad x=6.

Resposta

a) \;a=200,\;b=-1.
b) \;x=6 metros.

Exercícios relacionados